Question

15．已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ（$\sqrt{2}$cosθ-sinθ）=a，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=sinθ+cosθ\\ y=1+sin2θ\end{array}$（θ為參數(shù)），且C₁與C₂有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
（1）寫出曲線C₁的直角坐標(biāo)方程和曲線C₂的普通方程；
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三種方程的轉(zhuǎn)化方法，寫出曲線C₁的直角坐標(biāo)方程和曲線C₂的普通方程；
（2）聯(lián)立兩個(gè)曲線方程，可得${x}^{2}-\sqrt{2}x-a=0$，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ（$\sqrt{2}$cosθ-sinθ）=a，直角坐標(biāo)方程為$\sqrt{2}$x-y-a=0；
曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=sinθ+cosθ\\ y=1+sin2θ\end{array}$（θ為參數(shù)），
消去參數(shù)，普通方程為y=x²，x∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]；
（2）聯(lián)立兩個(gè)曲線方程，可得${x}^{2}-\sqrt{2}x-a=0$，
∵x∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，C₁與C₂有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴a=x²-$\sqrt{2}x$∈[-$\frac{1}{2}$，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．