Question

設f（x）=x²+ax+b（a、b∈R，x∈R），若直線y=k與f（x）圖象相交于點A、B，直線y=k+8與f（x）圖象相交于點C、D，則|AB|-2|CD|的最大值為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：首先通過二次函數(shù)的圖象簡化問題，再求導數(shù)，由導數(shù)確定最大值．

解答： ∵f（x）=x²+ax+b（a、b∈R，x∈R）與g（x）=x²的開口大小是一樣的，且方向相同，
∴|AB|-2|CD|的最大值與g（x）=x²與直線y=k和直線y=k+8形成的最大值是相同的，
令k=x²解得，x=±

k

，則|AB|=2

k

，同理|CD|=2

k+8

（k＞0）；
|AB|-2|CD|=2

k

-4

k+8

=2（

k

-2

k+8

），
令h（k）=

k

-2

k+8

，則h′（k）=

1

2

（

1

k

-

2

k+8

）
=

1

2

k+8 -2 k

k k+8

，
則當k∈（0，

8

3

）時，h′（k）＞0，h（k）單調(diào)遞增；
當k∈（

8

3

，+∞）時，h′（k）＜0，h（k）單調(diào)遞減；
則|AB|-2|CD|的最大值為：
2（

8 3

-2

8 3 +8

）=-4

6

．
故答案為：-4

6

．

點評：本題考查了數(shù)化中轉(zhuǎn)化的思想，從而大大減化的運算，同時考查了導數(shù)的綜合應用，屬于難題．