Question

（2006•宣武區(qū)一模）將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使二面角A-BD-C為60°，有如下四個(gè)結(jié)論：以上結(jié)論正確的為

①②

．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）
①AC⊥BD；
②點(diǎn)A到平面BCD的距離為

6

2

；
③AB與平面BCD成60°的角；
④平面ABC⊥平面ACD．

Answer 1

分析：對(duì)于①，利用線面垂直的判定定理，結(jié)合正方形的性質(zhì)證出BD⊥平面ACO，從而AC⊥BD，故①正確；對(duì)于②，根據(jù)面面垂直判定得出平面ACO⊥平面BCD，因此作AE⊥AO于E，得AE⊥平面BCD，所以AE就是A到平面BCD的距離，然后在正△AOC中利用題中數(shù)據(jù)，算出AE的長(zhǎng)，得②正確；對(duì)于③，連結(jié)BE，由前面的結(jié)論得到∠ABE就是AB與平面BCD所成的角，利用三角函數(shù)的定義算出sin∠ABE≠

3

2

，從而得到③不正確；對(duì)于④，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理，采用反證法加以證明可得平面ABC與平面ACD不垂直，從而得④不正確．由此可得本題答案．

解答：解：設(shè)正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)O
對(duì)于①，因?yàn)檎郫B后滿足BD⊥AO且BD⊥CO，結(jié)合AO∩C0=0
可得BD⊥平面ACO，從而得到AC⊥BD，故①正確；
對(duì)于②，由BD⊥平面ACO且BD?平面BCD，得平面ACO⊥平面BCD
因此作AE⊥AO于E點(diǎn)，可得AE⊥平面BCD，
所以AE就是A到平面BCD的距離
∵∠AOC=60°，就是二面角A-BD-C的平面角
∴△AOC為正三角形，其邊長(zhǎng)等于

2

2

AB=

2

，因此AE=

3

2

AO=

6

2

，可得②正確；
對(duì)于③，連結(jié)BE，由②的結(jié)論得到∠ABE就是AB與平面BCD所成的角
∵Rt△ABE中，AE=

6

2

，AB=2，∴sin∠ABE=

AE

AB

=

6

4

，
因此AB與平面BCD不成60°的角，故③不正確；
對(duì)于④，用反證法
設(shè)平面ABC⊥平面ACD，過(guò)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，
由面面垂直的性質(zhì)定理，得到DF⊥平面ABC，從而得到DF⊥BC
又∵CD⊥BC，DF∩CD=D，∴BC⊥平面ACD
∵AC?平面ACD，∴BC⊥AC，得∠ACB=90°
而∠ACB為等腰△ABC的底角，故∠ACB=90°是不可能的
因此假設(shè)不成立，從而得到平面ABC與平面ACD不垂直
綜上所述，正確的選項(xiàng)為①②
故答案為：①②

點(diǎn)評(píng)：本題給出正方形沿對(duì)角線折疊，判定線面、面面位置關(guān)系和空間距離的幾個(gè)結(jié)論是否正確．著重考查了二面角的平面角的定義、線面垂直的判定與性質(zhì)、面面垂直判定定理和直線與平面所成角等知識(shí)，屬于中檔題．