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【題目】已知函數.

1)若,求的極大值;

2)證明:當時,恒成立.

【答案】(1);(2)證明見詳解.

【解析】

1)對函數求導,令導數為零,劃分函數的單調區(qū)間,根據單調性即可求得函數的極大值;

2)對參數進行分類討論,要證在區(qū)間恒成立,即證恒成立;故而在參數的不同情況下,求得函數的最小值,通過證明函數的最小值大于等于零,從而證明恒成立.

1)當時,

,解得,

故當時,,單調遞增;

時,,單調遞減;

時,單調遞增;

的極大值為.

2)因為,

故可得

因為,故;

故①當時,,則在區(qū)間恒成立,且不恒為零,

在區(qū)間上單調遞增,

>0

故當時,在區(qū)間上恒成立;

②當時,令,解得,

在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增,

,

,則,

因為,故

即可得在區(qū)間上恒成立,

在區(qū)間上單調遞減,

,故在區(qū)間上恒成立,

在區(qū)間上單調遞減,

,

也即函數在區(qū)間上恒成立,

故當時,恒成立.

也即時,在區(qū)間上恒成立.

綜上所述:當時,在區(qū)間上恒成立.

即證.

練習冊系列答案
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