Question

(08年東城區(qū)統(tǒng)一練習一理)（14分）

如圖，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁，直線B₁C與平面ABC成30°角.

   （I）求證：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；

   （II）求直線A₁C與平面B₁AC所成角的正弦值；

   （III）求二面角B―B₁C―A的大小.

Answer 1

解析：解法一：

   （I）證明：由直三棱柱性質(zhì)，B₁B⊥平面ABC，

∴B₁B⊥AC，

又BA⊥AC，B₁B∩BA=B，

∴AC⊥平面 ABB₁A₁，

又AC平面B₁AC，

∴平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁.                                                               …………4分

  

（II）解：過A₁做A₁M⊥B₁A₁，垂足為M，連結(jié)CM，

∵平面B₁AC⊥平面ABB₁A，且平面B₁AC∩平面ABB₁A₁=B₁A，

∴A₁M⊥平面B₁AC.

∴∠A₁CM為直線A₁C與平面B₁AC所成的角，

∵直線B₁C與平面ABC成30°角，

∴∠B₁CB=30°.

設AB=BB₁=a，可得B₁C=2a，BC=，

∴直線A₁C與平面B₁AC所成角的正弦值為                                …………9分

   （III）解：過A做AN⊥BC，垂足為N，過N做NO⊥B₁C，垂足為O，連結(jié)AO，

由AN⊥BC，可得AN⊥平面BCC₁B₁，由三垂線定理，可知AO⊥B₁C，

∴∠AON為二面角B―B₁C―A的平面角，

∴二面角B―B₁C―A的大小為                                         …………14分

解法二：

   （I）證明：同解法一. …………4分

   （II）解：建立如圖的空間直角坐標系A―xyz，

∵直線B₁C與平面ABC成30°角，

∴∠B₁CB=30°.

設AB=B₁B=1，

∴直線A₁C與平面B₁AC所成角的正弦值為                                …………9分

   （III）解：設為平面BCC₁B₁的一個法向量，

∴二面角B―B₁C―A的大小為                                         …………14分