Question

1．在某天的上午9：00～12：00時段，湛江一間商業(yè)銀行隨機收集了100位客戶在營業(yè)廳窗口辦理業(yè)務(wù)類型及用時量的信息，相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表1與圖2所示．

一次辦理業(yè)務(wù)類型	A型業(yè)務(wù)	B型業(yè)務(wù)	C型業(yè)務(wù)	D型業(yè)務(wù)	E型業(yè)務(wù)
平均用時量（分鐘/人）	5	6.5	8	12	15

已知這100位客戶中辦理型和型業(yè)務(wù)的共占50%（假定一人一次只辦一種業(yè)務(wù)）．
（Ⅰ）確定圖2中x，y的值，并求隨機一位客戶一次辦理業(yè)務(wù)的用時量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）若某客戶到達(dá)柜臺時，前面恰有2位客戶依次辦理業(yè)務(wù)（第一位客戶剛開始辦理業(yè)務(wù)），且各客戶之間辦理的業(yè)務(wù)相互獨立，求該客戶辦理業(yè)務(wù)前的等候時間不超過13分鐘的概率．
（注：將頻率視為概率，參考數(shù)據(jù)：5×35+6.5×15+8×23+12×17=660.5，35²+15²+2×35×23+2×35×15=4110，35²+15²+35×23=2255）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得x=15，y=17，將頻率視為概率得P（X=5）=$\frac{35}{100}=\frac{7}{20}$，P（X=6.5）=$\frac{15}{100}=\frac{3}{20}$，P（X=8）=$\frac{23}{100}$，P（X=12）=$\frac{17}{100}$，P（X=15）=$\frac{10}{100}=\frac{1}{10}$，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（Ⅱ）記A為事件“該客戶在辦理業(yè)務(wù)前的等候時間不超過13分鐘”，X_i（i=1，2）為該顧客前面第i位客戶的用時量，P（A）=P（X₁=X₂=5）+P（X₁=5，X₂=8）+P（X₁=8，X₂=5）+P（X₁=X₂=6.5）+P（X₁=5，X₂=6.5）+P（X₁=6.5，X₂=5）．由此能求出該顧客辦理業(yè)務(wù)前的等候時間不超過13分鐘的概率．

解答 解：（Ⅰ）由已知得35+x=50，
∴x=15，23+y+10=50，∴y=17，
所以x=15，y=17．
該營業(yè)廳一次辦理業(yè)務(wù)的用時組成一個總體，
所收集的100位客戶一次辦理業(yè)務(wù)的用時量可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，
將頻率視為概率得：
P（X=5）=$\frac{35}{100}=\frac{7}{20}$，
P（X=6.5）=$\frac{15}{100}=\frac{3}{20}$，
P（X=8）=$\frac{23}{100}$，
P（X=12）=$\frac{17}{100}$，
P（X=15）=$\frac{10}{100}=\frac{1}{10}$，
∴X的分布列為：

X	5	6.5	8	12	15
P	$\frac{7}{20}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{23}{100}$	$\frac{17}{100}$	$\frac{1}{10}$

X的數(shù)學(xué)期望為：
E（X）=$5×\frac{35}{100}+6.5×\frac{15}{100}+8×\frac{23}{100}+12×\frac{17}{100}+15×\frac{10}{100}$=8.105．
（Ⅱ）記A為事件“該客戶在辦理業(yè)務(wù)前的等候時間不超過13分鐘”，
X_i（i=1，2）為該顧客前面第i位客戶的用時量，
由于各客戶口的辦理業(yè)務(wù)相互獨立，
則P（A）=P（X₁=X₂=5）+P（X₁=5，X₂=8）+P（X₁=8，X₂=5）+P（X₁=X₂=6.5）+P（X₁=5，X₂=6.5）+P（X₁=6.5，X₂=5）．
=（$\frac{7}{20}$）²+（$\frac{3}{20}$）²+2×$\frac{7}{20}×\frac{23}{100}+2×\frac{7}{20}×\frac{3}{20}$=0.411．
故該顧客辦理業(yè)務(wù)前的等候時間不超過13分鐘的概率為0.411．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．