Question

12．如圖，橢圓E的左右頂點(diǎn)分別為A、B，左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，|AB|=4，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，直線y=kx+m（k＞0）交橢圓于C、D兩點(diǎn)，與線段F₁F₂及橢圓短軸分別交于M、N兩點(diǎn)（M、N不重合），且|CM|=|DN|．
（Ⅰ）求橢圓E的離心率；
（Ⅱ）若m＞0，設(shè)直線AD、BC的斜率分別為k₁、k₂，求$\frac{k_1}{k_2}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$|{AB}|=4，|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{3}$，求出a，c，然后求解橢圓的離心率．
（Ⅱ）設(shè)D（x₁，y₁），C（x₂，y₂）通過$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+4{y^2}=4}\end{array}}\right.$，結(jié)合△＞0推出m²＜4k²+1，利用韋達(dá)定理|CM|=|DN|．求出直線的斜率，然后表示出$\frac{k_1}{k_2}$，然后求解它的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由$|{AB}|=4，|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{3}$，可知$a=2，c=\sqrt{3}$即橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…..…．（2分）
離心率為$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…．…．（4分）
（Ⅱ）設(shè)D（x₁，y₁），C（x₂，y₂）易知$A（{-2，0}），B（{2，0}），N（{0，m}），M（{-\frac{m}{k}，0}）$…．（5分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+4{y^2}=4}\end{array}}\right.$消去y整理得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
由△＞0⇒4k²-m²+1＞0即m²＜4k²+1，${x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$…（6分）
且|CM|=|DN|即$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{ND}$可知${x_1}+{x_2}=-\frac{m}{k}$，即$\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}=-\frac{m}{k}$，解得$k=\frac{1}{2}$…．（8分）
${（{\frac{k_1}{k_2}}）^2}=\frac{{y_1^2{{（{{x_2}-2}）}^2}}}{{y_2^2{{（{{x_1}+2}）}^2}}}=\frac{{\frac{4-x_1^2}{4}{{（{{x_2}-2}）}^2}}}{{\frac{4-x_2^2}{4}{{（{{x_1}+2}）}^2}}}=\frac{{（{2-{x_1}}）（{2-{x_2}}）}}{{（{2+{x_1}}）（{2+{x_2}}）}}=\frac{{4-2（{{x_1}+{x_2}}）+{x_1}{x_2}}}{{4+2（{{x_1}+{x_2}}）+{x_1}{x_2}}}={（{\frac{m+1}{m-1}}）^2}$，
由題知，點(diǎn)M、F₁的橫坐標(biāo)${x_M}≥{x_{F_1}}$，有$-2m≥-\sqrt{3}$，
易知$m∈（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$滿足m²＜2，
即$\frac{k_1}{k_2}=-\frac{m+1}{m-1}=-1+\frac{2}{1-m}$，則$\frac{k_1}{k_2}∈（{1，7+4\sqrt{3}}]$…..（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．