Question

5．在銳角三角形△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，（a+b+c）（a+c-b）=$（{2+\sqrt{3}}）ac$，則cosA+sinC的取值范圍為（　�。�

• A． $（{\frac{3}{2}，\sqrt{3}}）$
• B． $（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}}）$
• C． $（{\frac{3}{2}，\sqrt{3}}]$
• D． $（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\sqrt{3}}）$

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可求cosB，結(jié)合B是銳角，可求B，進而可得$C=\frac{5π}{6}-A$，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可求cosA+sinC=$\sqrt{3}sin（{A+\frac{π}{3}}）$，由已知可求范圍$\left\{\begin{array}{l}0＜A＜\frac{π}{2}\\ 0＜\frac{5π}{6}-A＜\frac{π}{2}\end{array}\right.$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可計算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：由：（a+b+c）（a+c-b）=$（{2+\sqrt{3}}）ac$，可得：${a^2}+{c^2}-{b^2}=\sqrt{3}ac$，
根據(jù)余弦定理得：$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵B是銳角，
∴$B=\frac{π}{6}$．
∴$A+C=\frac{5π}{6}$，即$C=\frac{5π}{6}-A$，
$\begin{array}{l}∴cosA+sinC=cosA+sin（{\frac{5π}{6}-A}）\\=cosA+sin\frac{5π}{6}cosA-cos\frac{5π}{6}sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA+\frac{3}{2}cosA\end{array}$
=$\sqrt{3}sin（{A+\frac{π}{3}}）$，
又△ABC是銳角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}0＜A＜\frac{π}{2}\\ 0＜C＜\frac{π}{2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}0＜A＜\frac{π}{2}\\ 0＜\frac{5π}{6}-A＜\frac{π}{2}\end{array}\right.$，
∴$\frac{π}{3}＜A＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{2π}{3}＜A+\frac{π}{3}＜\frac{5π}{6}$，
∴$cosA+sinC∈（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}}）$．
故選：B．

點評 本題主要考查了余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．