Question

（07年湖北卷理）（12分）

如圖，在三棱錐中，底面，，是的中點(diǎn)，且，．

（I）求證：平面；

（II）當(dāng)角變化時(shí)，求直線與平面所成的角的取值范圍．

Answer 1

本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成角的有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力以及應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．

解析：解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中點(diǎn)，

，又底面．．于是平面．

又平面，平面平面．

（Ⅱ） 過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作于，則由（Ⅰ）知平面．

連接，于是就是直線與平面所成的角．

在中，；

設(shè)，在中，，．

，，．又，．

即直線與平面所成角的取值范圍為．

解法2：（Ⅰ）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，

于是，，，．

從而，即．

同理，

即．又，平面．

又平面．

平面平面．

（Ⅱ）設(shè)直線與平面所成的角為，平面的一個(gè)法向量為，

則由．

得

可取，又，

于是，

，，．

又，．

即直線與平面所成角的取值范圍為．

解法3：（Ⅰ）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，

，于是，，．

從而，即．

同理，即．

又，平面．

又平面，

平面平面．

（Ⅱ）設(shè)直線與平面所成的角為，平面的一個(gè)法向量為，

則由，得

可取，又，

于是，

，，．

又，，

即直線與平面所成角的取值范圍為．

解法4：以所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則．

設(shè)．

（Ⅰ），

，

即．

，

即．

又，平面．

又平面，

平面平面．

（Ⅱ）設(shè)直線與平面所成的角為，

設(shè)是平面的一個(gè)非零法向量，

則取，得．

可取，又，

于是，

，關(guān)于遞增．

，．

即直線與平面所成角的取值范圍為．