Question

已知橢圓

x2

16

+

y2

9

=1上任一點(diǎn)P，直線l：x+y-6=0與兩坐標(biāo)軸分別交于A，B，則△ABP面積的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知條件，設(shè)P（4cosα，3sinα），由此能求出點(diǎn)P（4cosα，3sinα）到直線l：x+y-6=0的距離的最小值，由直線l的方程能求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由此能求出△ABP面積的最小值．

解答： 解：∵點(diǎn)P是橢圓

x2

16

+

y2

9

=1上任一點(diǎn)，
∴P（4cosα，3sinα），
∴點(diǎn)P（4cosα，3sinα）到直線l：x+y-6=0的距離：
d=

|4cosα+3sinα-6|

2

，
∴d_min=

| 16+9 -6|

2

=

2

2

，
∵直線l：x+y-6=0與兩坐標(biāo)軸分別交于A（6，0），B（0，6），
∴|AB|=

36+36

=2

6

，
∴△ABP面積的最小值=

1

2

×

2

2

×2

6

=

3

．
故答案為：

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形面積的最小值的求法，考查橢圓、直線方程、點(diǎn)到直線的距離公式的知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)要注意橢圓的參數(shù)方程的合理運(yùn)用．