【題目】設(shè)是不小于3的正整數(shù),集合,對(duì)于集合中任意兩個(gè)元素,.
定義1:.
定義2:若,則稱(chēng),互為相反元素,記作,或.
(Ⅰ)若,,,試寫(xiě)出,,以及的值;
(Ⅱ)若,證明:;
(Ⅲ)設(shè)是小于的正奇數(shù),至少含有兩個(gè)元素的集合,且對(duì)于集合中任意兩個(gè)不相同的元素,,都有,試求集合中元素個(gè)數(shù)的所有可能值.
【答案】(Ⅰ)2;(Ⅱ)詳見(jiàn)解析;(Ⅲ)2.
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)定義求,,以及的值;(Ⅱ)設(shè),,根據(jù)定義求,再根據(jù)定義化簡(jiǎn),即得結(jié)果,(Ⅲ)先假設(shè)集合有三個(gè)不相同的元素,,,再根據(jù)得恰有個(gè)1,與個(gè)0,同理可得恰有個(gè)1,與個(gè)0,調(diào)整次序?qū)?yīng)相減可得,最后根據(jù)為奇數(shù),得到矛盾,否定假設(shè),即得結(jié)果.
(Ⅰ),,
(Ⅱ)設(shè),,,
由,可得,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng),,即,時(shí)上式“=”成立
由題意可知
即
所以,
(Ⅲ)解法1:假設(shè),,為集合中的三個(gè)不相同的元素.
則
即
又由題意可知或1,
恰有個(gè)1,與個(gè)0
設(shè)其中個(gè)等于1的項(xiàng)依次為
個(gè)等于0的項(xiàng)依次為
由題意可知
所以,同理
所以
即
因?yàn)?/span>
由(2)可知
因?yàn)?/span>
所以,
設(shè),由題意可知
所以,得與為奇數(shù)矛盾
所以假設(shè)不成立,即集合中至多有兩個(gè)元素
當(dāng)時(shí)符合題意
所以集合中元素的個(gè)數(shù)只可能是2
解法2:假設(shè),,為集合中的三個(gè)不相同的元素.
則
即
又由題意可知或1,
恰有個(gè)1,與個(gè)0
設(shè)其中個(gè)等于1的項(xiàng)依次為
個(gè)等于0的項(xiàng)依次為
由題意可知
所以①
同理②
①—②得
又因?yàn)?/span>為奇數(shù)
與矛盾
所以假設(shè)不成立,即集合中至多有兩個(gè)元素
當(dāng)時(shí)符合題意
所以集合中元素的個(gè)數(shù)只可能是2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將函數(shù) 圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的 ,縱坐標(biāo)不變,再向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.函數(shù)g(x)的一條對(duì)稱(chēng)軸是
B.函數(shù)g(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是
C.函數(shù)g(x)的一條對(duì)稱(chēng)軸是
D.函數(shù)g(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知無(wú)窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn , 且滿(mǎn)足:a1=a,rSn=anan+1﹣1,其中a≠1,常數(shù)r∈N;
(1)求證:an+2﹣an是一個(gè)定值;
(2)若數(shù)列{an}是一個(gè)周期數(shù)列(存在正整數(shù)T,使得對(duì)任意n∈N* , 都有an+T=an成立,則稱(chēng){an}為周期數(shù)列,T為它的一個(gè)周期,求該數(shù)列的最小周期;
(3)若數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為有理數(shù)的等差數(shù)列,cn=23n﹣1(n∈N*),問(wèn):數(shù)列{cn}中的所有項(xiàng)是否都是數(shù)列{an}中的項(xiàng)?若是,請(qǐng)說(shuō)明理由,若不是,請(qǐng)舉出反例.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足條件f(0)=1,及f(x+1)﹣f(x)=2x.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)在區(qū)間[﹣1,1]上,y=f(x)的圖象恒在y=2x+m的圖象上方,試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,橢圓C1: =1(a>b>0)的離心率為 ,x軸被曲線(xiàn)C2:y=x2﹣b截得的線(xiàn)段長(zhǎng)等于C1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng).
(Ⅰ)求C1 , C2的方程;
(Ⅱ)設(shè)C2與y軸的交點(diǎn)為M,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線(xiàn)l與C2相交于點(diǎn)A、B,直線(xiàn)MA,MB分別與C1相交于D,E.
(i)證明:MD⊥ME;
(ii)記△MAB,△MDE的面積分別是S1 , S2 . 問(wèn):是否存在直線(xiàn)l,使得 = ?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解本校學(xué)生的身體素質(zhì)情況,決定在全校的1000名男生和800名女生中按分層抽樣的方法抽取45名學(xué)生對(duì)他們課余參加體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,將學(xué)生課余參加體育鍛煉時(shí)間的情況分三類(lèi):A類(lèi)(課余參加體育鍛煉且平均每周參加體育鍛煉的時(shí)間超過(guò)3小時(shí)),B類(lèi)(課余參加體育鍛煉但平均每周參加體育鍛煉的時(shí)間不超過(guò)3小時(shí)),C類(lèi)(課余不參加體育鍛煉),調(diào)查結(jié)果如表:
A類(lèi) | B類(lèi) | C類(lèi) | |
男生 | 18 | x | 3 |
女生 | 10 | 8 | y |
(1)求出表中x、y的值;
(2)根據(jù)表格統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為課余參加體育鍛煉且平均每周參加體育鍛煉的時(shí)間超過(guò)3小時(shí)與性別有關(guān);
男生 | 女生 | 總計(jì) | |
A類(lèi) | |||
B類(lèi)和C類(lèi) | |||
總計(jì) |
(3)在抽取的樣本中,從課余不參加體育鍛煉學(xué)生中隨機(jī)選取三人進(jìn)一步了解情況,求選取三人中男女都有且男生比女生多的概率. 附:K2=
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.01 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在海岸處發(fā)現(xiàn)北偏東方向,距處海里的處有一艘走私船.在處北偏西方向,距處海里的處的我方緝私船奉命以海里小時(shí)的速度追截走私船,此時(shí)走私船正以海里小時(shí)的速度從處向北偏東方向逃竄.問(wèn):緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時(shí)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】楊輝三角,是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列。在歐洲,這個(gè)表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡(1623——1662)是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的,比楊輝要遲年,比賈憲遲年。如圖的表在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里就出現(xiàn)了,這又是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就。如圖所示,在“楊輝三角”中,從1開(kāi)始箭頭所指的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列:,則此數(shù)列前項(xiàng)和為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中, ,點(diǎn)P為線(xiàn)段A1C上的動(dòng)點(diǎn)(包含線(xiàn)段端點(diǎn)),則下列結(jié)論正確的 . ①當(dāng) 時(shí),D1P∥平面BDC1;
②當(dāng) 時(shí),A1C⊥平面D1AP;
③當(dāng)∠APD1的最大值為90°;
④AP+PD1的最小值為 .
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