Question

20．已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若對(duì)任意k∈R，恒有|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$-k$\overrightarrow{BC}$|≥|$\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{CO}$|，則△ABC一定是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 鈍角三角形
• C． 銳角三角形
• D． 不確定

Answer 1

分析 運(yùn)用兩邊平方，結(jié)合向量的平方即為模的平方，設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，可得k²a²-2kcacosB+c²-b²≥0，運(yùn)用判別式小于等于0，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合正弦定理和正弦函數(shù)的值域，可得三角形的形狀．

解答 解：|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$-k$\overrightarrow{BC}$|≥|$\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{CO}$|，
即為|$\overrightarrow{BA}$-k$\overrightarrow{BC}$|≥|$\overrightarrow{AC}$|，
兩邊平方可得，$\overrightarrow{BA}$²+k²$\overrightarrow{BC}$²-2k$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$≥$\overrightarrow{AC}$²，
設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，
即有c²+k²a²-2kcacosB≥b²，
即k²a²-2kcacosB+c²-b²≥0，
由題意可得△=4c²a²cos²B-4a²（c²-b²）≤0，
化為b²≤c²-c²cos²B，
即為b≤csinB，
由正弦定理可得b≤bsinC，
則sinC≥1，但sinC≤1，則sinC=1，可得C=90°．
即三角形ABC為直角三角形．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量不等式恒成立問(wèn)題的解法，考查三角形的形狀判斷和正弦定理的運(yùn)用，運(yùn)用向量的平方即為模的平方，以及二次不等式恒成立問(wèn)題的解法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．