11.已知拋物線C:y2=-2px(p>0)的焦點為F,在拋物線C上存在點M,使得點F關(guān)于M的對稱點為M'($\frac{2}{5}$,$\frac{8}{5}$),且|MF|=1.
(1)求拋物線C的方程;
(2)若直線MF與拋物線C的另一個交點為N,且以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過y軸上一點P,求點P的坐標(biāo).

分析 (1)根據(jù)對稱關(guān)系求出M點坐標(biāo)代入拋物線方程即可得出p;
(2)求出直線MN的方程,聯(lián)立方程組解出N點坐標(biāo),得出圓的方程,從而得出P點坐標(biāo).

解答 解:(1)拋物線的焦點坐標(biāo)為F(-$\frac{p}{2}$,0),
設(shè)M(x0,y0),∵F和M′關(guān)于M對稱,∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{1}{5}-\frac{p}{4}}\\{{y}_{0}=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$.
代入拋物線方程得25p2-20p-32=0.解得p=$\frac{8}{5}$或p=-$\frac{4}{5}$(舍).
∴拋物線方程為:y2=-$\frac{16}{5}$x.
(2)由(1)知M(-$\frac{1}{5}$,$\frac{4}{5}$),F(xiàn)(-$\frac{4}{5}$,0).
∴直線MF的方程為$\frac{y}{\frac{4}{5}}=\frac{x+\frac{4}{5}}{-\frac{1}{5}+\frac{4}{5}}$,即y=$\frac{4}{3}x+\frac{16}{15}$.
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x+\frac{16}{15}}\\{{y}^{2}=-\frac{16}{5}x}\end{array}\right.$,消元得:25y2+60y-64=0.
∴N(-$\frac{16}{5}$,-$\frac{16}{5}$).
∴MN的中點坐標(biāo)為(-$\frac{17}{10}$,-$\frac{6}{5}$).|MN|=$\sqrt{(-\frac{1}{5}+\frac{16}{5})^{2}+(\frac{4}{5}+\frac{16}{5})^{2}}$=5.
∴以MN為直徑的圓的方程為(x+$\frac{17}{10}$)2+(y+$\frac{6}{5}$)2=$\frac{25}{4}$.
令x=0得y=-$\frac{6}{5}$±$\frac{2\sqrt{21}}{5}$.
∴P點坐標(biāo)為(0,-$\frac{6+2\sqrt{21}}{5}$)或(0,-$\frac{6-2\sqrt{21}}{5}$).

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.

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