Question

設函數y=4x³+ax²+bx+5在x=

3

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與x=-1時有極值．
（1）寫出函數的解析式；    
（2）指出函數的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）先求出函數的導函數f′（x），然后根據在x=

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與x=-1時有極值，導數值為0，結合韋達定理可得a，b的值，進而得到函數的解析式；    
（2）分析導函數在定義域各個子區(qū)間上的符號，可得函數的單調區(qū)間．

解答： 解：（1）∵y=4x³+ax²+bx+5，
∴y′=12x²+2ax+b，
又∵函數y=4x³+ax²+bx+5在x=

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2

與x=-1時有極值，
故x=

3

2

與x=-1為方程y′=12x²+2ax+b=0的兩個根，
由韋達定理得：

3

2

-1=

1

2

=-

2a

12

=-

a

6

，

3

2

×（-1）=-

3

2

=

b

12

，
解得a=-3，b=-18，
故y=4x³-3x²-18x+5，
（2）由（1）得y′=12x²-6x-18=6（2x-3）（x+1），
當x∈（-∞，-1）∪（

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，+∞）時，y′＞0，當x∈（-1，

3

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）時，y′＜0，
故函數y=4x³-3x²-18x+5的單調調增區(qū)間為：（-∞，-1），（

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，+∞）；單調遞減區(qū)間為：（-1，

3

2

）．

點評：本題考查的知識點是函數單調性的判斷與證明，函數解析式的求解及常用方法，是函數與導數的簡單綜合應用，難度中檔．