學校擬建一塊周長為400m的操場，操場的兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，為了使中間矩形的區(qū)域面積盡可能大，應(yīng)如何設(shè)計矩形的長和寬？
考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用
專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用
分析：若設(shè)矩形的長為xm，半圓的直徑是d，中間的矩形區(qū)域面積是Sm2，則S=dx，且2x+πd=400；而S=dx=
1
2π
•πd•2x≤
1
2π
•(
πd+2x
2
)2，可得最大值以及對應(yīng)的d、x的值．
解答： 解：設(shè)矩形的長為xm，半圓的直徑是dm，中間的矩形區(qū)域面積是Sm2，
根據(jù)題意，知S=dx，且2x+πd=400．
∴S=dx=
1
2π
•πd•2x≤
1
2π
•(
πd+2x
2
)2=
20000
π
，
當且僅當πd=2x=200，即x=100時等號成立，此時，d=
200
π
；
∴應(yīng)設(shè)計矩形的長為100m，寬約為
100
π
m時，矩形面積最大．
點評：本題考查周長與面積的計算，考查了基本不等式的變形應(yīng)用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知平面內(nèi)有一個五邊形ABCEF，且關(guān)于線段BC對稱（如圖1所示），F(xiàn)E⊥CE，BF=FE=1，CB=CE=
3
，沿BC將平面ABCD折起，使平面ABCD⊥平面ECBF，連接AF、DE、AE得到如圖2所示的幾何體．
（1）證明：DE∥平面AFB；
（2）求二面角E-AD-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為a，側(cè)面B1C1CB⊥底面ABC，O是BC的中點，且AC1⊥BC．
（Ⅰ）求證：AC1⊥A1B；
（Ⅱ）求直線B1A與平面AOC1所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}中，a3=8，a9=2a4，Sn是等比數(shù)列{bn}的前n項和，其中S3=
26
27
，S6=
728
729
．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式an，bn；
（2）設(shè)cn=
an
bn
，求{cn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2cos2（
π
8
x+
π
8
）．
（1）把f（x）的解析式化為f（x）=Acos（ωx+ϕ）+B的形式，并用五點法作出f（x）在一個周期上的簡圖．（要求列表）
（2）說出y=cosx的圖象經(jīng)過怎樣的變換y=f（x）的圖象．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，AB=4，AC=1，∠BAC=60°．求BC的長和△ABC的面積；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinx（
3
cosx-sinx）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當x∈[0，
3π
2
]時，求f（x）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-ax2-x+b
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為3x-y+4=0，求a、b的值
（2）若f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對任意x∈R，函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=
2f(x)-[f(x)]2
+1，設(shè)an=[f（n）]2-2f（n），數(shù)列{an}的前2013項和為-1003，則f（2013）=
 
．

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