Question

14．設(shè)k∈R，函數(shù)f（x）=lnx-kx．
（1）若k=2，求曲線y=f（x）在P（1，-2）處的切線方程；
（2）若f（x）無零點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)計算f（1），f′（1）的值，由點斜式寫出切線方程即可；
（2）當(dāng)k＜0時，由f（1）f（e^k）＜0可知函數(shù)有零點，不符合題意；當(dāng)k=0時，函數(shù)f（x）=lnx有唯一零點x=1有唯一零點，不符合題意；當(dāng)k＞0時，由單調(diào)性可知函數(shù)有最大值，由函數(shù)的最大值小于零列出不等式，解之即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-k=$\frac{1-kx}{x}$，
當(dāng)k=2時，f′（1）=1-2=-1，
則切線方程為y-（-2）=-（x-1），即x+y+1=0．
（2）①若k＜0時，則f′（x）＞0，f（x）是區(qū)間（0，+∞）上的增函數(shù)，
∵f（1）=-k＞0，f（e^k）=k-ke^k=k（1-e^k）＜0，
∴f（1）•f（e^k）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）有唯一零點；
②若k=0，f（x）=lnx有唯一零點x=1；
③若k＞0，令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{k}$，
在區(qū)間（0，$\frac{1}{k}$）上，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)；
在區(qū)間（$\frac{1}{k}$，+∞）上，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)；
故在區(qū)間（0，+∞）上，f（x）的極大值為f（$\frac{1}{k}$）=ln$\frac{1}{k}$-1=-lnk-1，
由于f（x）無零點，須使f（$\frac{1}{k}$）=-lnk-1＜0，解得：k＞$\frac{1}{e}$，
故所求實數(shù)k的取值范圍是（$\frac{1}{e}$，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，考查函數(shù)的零點問題，是一道中檔題．