Question

15．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=-1，a_n+1=2a_n+3n-1（n∈N^*），則其前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ⁺²-4-$\frac{3{n}^{2}+7n}{2}$．

Answer 1

分析 a_n+1=2a_n+3n-1（n∈N^*），a₁=-1，可得a₂=0．n≥2時(shí)，a_n=2a_n-1+3n-4，相減可得：a_n+1-a_n+3=2（a_n-a_n-1+3），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_n-a_n-1+3，利用“累加求和”方法可得a_n．再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=2a_n+3n-1（n∈N^*），a₁=-1，∴a₂=0．
n≥2時(shí)，a_n=2a_n-1+3n-4，
相減可得：a_n+1-a_n=2a_n-2a_n-1+3，
化為：a_n+1-a_n+3=2（a_n-a_n-1+3），
∴數(shù)列{a_n-a_n-1+3}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2．
∴a_n-a_n-1+3=4×2^n-2，∴a_n-a_n-1=2ⁿ-3．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2ⁿ-3+2^n-1-3+…+2²-3-1，
=$\frac{4（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-3（n-1）-1
=2ⁿ⁺¹-3n-2．
∴其前n項(xiàng)和S_n=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-3×$\frac{n（n+1）}{2}$-2n=2ⁿ⁺²-4-$\frac{3{n}^{2}+7n}{2}$．
故答案為：2ⁿ⁺²-4-$\frac{3{n}^{2}+7n}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“累加求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．