Question

如圖，△PAD為等邊三角形，ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=2，E、F、G分別為PA、BC、PD中點，AD=2

2

．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PCD．
（Ⅱ）求證：AG⊥EF
（Ⅲ）求多面體P-AGF的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由ABCD為矩形，知AD||BC，AD=BC，由E，F(xiàn)，G分別為PA，BC，PD中點，導出四形CFEG是平行四形，由此能夠證明EF∥平面PCD．
（Ⅱ）由△PAD是等三角形，G為PD邊的中點．知AG⊥PD，由此能夠證明AG⊥EF．
（Ⅲ）由V_{三棱柱P-AFG}=V_{三棱柱F-PAG}，能夠求出多面體P-AGF的體積．

解答：（Ⅰ）證明：∵ABCD為矩形，
∴AD||BC，AD=BC，
又∵E，F(xiàn)，G分別為PA，BC，PD中點，
∴GE∥AD，GE=

1

2

AD，∴CF∥AD，CF=

1

2

AD，
∴GE∥CF，GE=CF，∴四形CFEG是平行四形，
∴CG∥EF，
又∵EF?平面PCD，CG?平面PCD，∴EF∥平面PCD．
（Ⅱ）證明：∵△PAD是等三角形，G為PD邊的中點．
∴AG⊥PD，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AG，∴AG⊥平面PCD，
∵CG∥EF，∴AG⊥EF．
（Ⅲ）解：V_{三棱柱P-AFG}=V_{三棱柱F-PAG}，
=

1

3

AB•S△PAG
=

1

3

×2×

1

2

×

3

4

×8=

2 3

3

．

點評：本題考查直線與平面的平行的證明，考查直線與直線垂直的證明，考查多面體體積的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．