Question

如圖，△PAD為等邊三角形，ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=2，E、F、G分別為PA、BC、PD中點(diǎn)，PC與底面ABCD成45⁰角．
（Ⅰ）求證：AG⊥EF
（Ⅱ）求二面角P-DF-A的正切．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接GE、GC，證明AG⊥平面PCD，可得AG⊥CG，再證明CG∥EF即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）取AD中點(diǎn)H，連接PH，證明∠PCH是PC與平面ABCD所成的角，可求等邊△PAD邊長(zhǎng)，過P做PK⊥DF于K，連接HK，則∠PKH就是二面角P-DF-A的平面角，利用正切函數(shù)可求二面角P-DF-A的正切值．

解答：（Ⅰ）證明：連接GE、GC
∵△PAD是等邊三角形，G為PD邊中點(diǎn)，
∴AG⊥PD…（1分）
∵ABCD為矩形，∴CD⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD…（2分）
∴CD⊥AG，∴AG⊥平面PCD，∴AG⊥CG…（3分）
∵E、F分別為PA、BC中點(diǎn)，
∴GE

∥ .

.

1

2

AD，CF

∥ .

.

1

2

AD，∴GE

∥ .

.

CF，
∴四邊形CFEG是平行四邊形，∴CG∥EF…（4分）
∴AG⊥EF…（5分）
（Ⅱ）解：（圖1）取AD中點(diǎn)H，連接PH，在等邊△PAD中，PH⊥AD，則PH⊥平面ABCD，∴PH⊥CH且∠PCH是PC與平面ABCD所成的角，∴∠PCH=45°，…（7分）
設(shè)等邊△PAD邊長(zhǎng)為a，則PH=HC=

3

2

a，DH=

1

2

a
∵在矩形ABCD中，AB=2，
∴4=CD2=CH2-DH2=

3

4

a2-

1

4

a2=

1

2

a2
解得a=2

2

…（9分）
∵PH⊥平面ABCD，∴PH⊥DF
過P做PK⊥DF于K，連接HK，則DF⊥平面PHK，則∠PKH就是二面角P-DF-A的平面角…（11分）
由DF=

6

及s△ADF=

1

2

×2HK•DF=

1

2

AB•AD解得HK=

2 3

3

∴在R_t△PDF中，tan∠PKH=

PH

HK

=

3 2

2

…（12分）
∴求二面角P-DF-A的正切值為

3 2

2

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線線垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是證明線面垂直，正確作出面面角，屬于中檔題．