【題目】如圖，已知、，、分別為的外心，重心，.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）是否存在過的直線交曲線于，兩點且滿足，若存在求出的方程，若不存在請說明理由.

【答案】（1）；（2）不存在.

【解析】

（1）設(shè)點，利用重心的坐標(biāo)公式得出點的坐標(biāo)為，可得出點，由可得出點的軌跡的方程；

（2）由題意得出直線的斜率存在，并設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，由，可得出代入韋達(dá)定理求出的值，即可得出直線的方程，此時，直線過點或，從而說明直線不存在.

（1）設(shè)點，則點，由于，則點.

由，可得出，化簡得.

因此，軌跡的方程為；

（2）當(dāng)與軸重合時不符合條件.

假設(shè)存在直線，設(shè)點、.

將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，

消去得，由韋達(dá)定理得，.

，，，，得，

即，，

另一方面，得，解得.

則直線過點或，因此，直線不存在.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某貧困地區(qū)幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路，，以及鐵路線上的一條應(yīng)開鑿的直線穿山隧道，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路，和山區(qū)邊界的直線型公路，以，所在的直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，山區(qū)邊界曲線為，設(shè)公路與曲線相切于點.

（1）設(shè)公路交軸，軸分別為兩點，若公路的斜率為-1，求的長；

（2）當(dāng)公路的長度最短時，設(shè)公路交軸，軸分別為，兩點，并測得四邊形中，，，千米，千米，求應(yīng)開鑿的隧道的長度.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為；直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線與曲線分別交于，兩點.

（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；

（2）若點的極坐標(biāo)為，，求的值.

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【題目】如圖①，平行四邊形中，，，，為中點.將沿折起，使平面平面，得到如圖②所示的四棱錐.

（1）求證：平面平面；

（2）求點到平面的距離.

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【題目】點是拋物線內(nèi)一點，是拋物線的焦點，是拋物線上任意一點，且已知的最小值為2.

（1）求拋物線的方程；

（2）拋物線上一點處的切線與斜率為常數(shù)的動直線相交于，且直線與拋物線相交于、兩點.問是否有常數(shù)使？

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【題目】如圖，曲線由左半橢圓和圓在軸右側(cè)的部分連接而成， ， 是與的公共點，點， （均異于點， ）分別是， 上的動點．

（Ⅰ）若的最大值為，求半橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線過點，且， ，求半橢圓的離心率．

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【題目】如圖，是以為直角頂點的等腰直角三角形，為線段的中點，是的中點，與分別是以、為底邊的等邊三角形，現(xiàn)將與分別沿與向上折起（如圖），則在翻折的過程中下列結(jié)論可能正確的個數(shù)為（ ）

圖 圖

（1）直線直線；（2）直線直線；

（3）平面平面；（4）直線直線.

A.個B.個C.個D.個

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【題目】如圖是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會的會徽，它的主題圖案由一連串如圖所示的直角三角形演化而成.設(shè)其中的第一個直角是等腰三角形，且，則，，現(xiàn)將沿翻折成，則當(dāng)四面體體積最大時，它的表面有________個直角三角形；當(dāng)時，四面體外接球的體積為________.

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【題目】在如圖所示的三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，是的中位線，為線段的中點.

（1）證明：.

（2）若二面角為直二面角，求二面角的余弦值.

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