Question

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下兩個頂點為A，B，直線l：y=-2，
點P是橢圓上異于點A、B的任意一點，連接AP并延長交直線l于點N，連接PB并延長交直線l于點M，設AP所在的直線的斜率為k₁，BP所在的直線的斜率為k₂，若橢圓的離心率為

3

2

，且過點A（0，1）．
（1）求k₁•k₂的值及線段MN的最小值；
（2）隨著點P的變化，以MN為直徑的圓是否恒過定點？若過定點，求出該定點；如不過定點，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意可知e=

c

a

=

3

2

，b=1，又a²-b²=c²，解出a，b得到橢圓方程，設橢圓上點P（x₀，y₀），代入橢圓方程，再由斜率公式，即可得到k₁•k₂的值，設M（x₁，-2），N（x₂，-2），求出x₁x₂=-12，再由基本不等式求出MN=|x₁-x₂|的最小值；
（2）設M（x₁，-2），N（x₂，-2），則以MN為直徑的圓的方程為（x-x₁）（x-x₂）+（y+2）²=0，化簡整理，若圓過定點，則有x=0，x²+（y+2）²-12=0，解出即可判斷．

解答： 解：（1）因為e=

c

a

=

3

2

，b=1，又a²-b²=c²，解得a=2，
所以橢圓C的標準方程為

x2

4

+y²=1．
設橢圓上點P（x₀，y₀），有

x02

4

+y₀²=1，
所以k₁•k₂=

y0-1

x0

•

y0+1

x0

=

y02-1

x02

=-

1

4

．
因為M，N在直線l：y=-2上，設M（x₁，-2），N（x₂，-2），
由方程知

x2

4

+y²=1知，A（0，1），B（0，-1），
所以K_BM•k_AN=

-2-(-1)

x1-0

•

-2-1

x2-0

=

3

x1x2

，
又由上面知k_AN•k_BM=k₁•k₂=-

1

4

，所以x₁x₂=-12，
不妨設x₁＜0，則x₂＞0，則
MN=|x₁-x₂|=x₂-x₁=x₂+

12

x2

≥2

x2• 12 x2

=4

3

，
所以當且僅當x₂=-x₁=2

3

時，MN取得最小值4

3

．
（2）設M（x₁，-2），N（x₂，-2），
則以MN為直徑的圓的方程為
（x-x₁）（x-x₂）+（y+2）²=0，
即x²+（y+2）²-12-（x₁+x₂）x=0，若圓過定點，
則有x=0，x²+（y+2）²-12=0，解得x=0，y=-2±2

3

，
所以，無論點P如何變化，以MN為直徑的圓恒過定點（0，-2±2

3

）．

點評：本題考查橢圓的方程和性質，圓的方程的求法，考查直線的斜率公式的運用，以及恒過定點問題，運算和化簡能力，屬于中檔題．