Question

20．拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，過直線x-y-2=0上點M作C的兩條切線MA、MB（A、B為切點），若|AF|•|BF|的最小值為8，則p=（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 求出切線方程，再利用拋物線的定義，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)A（x₁，$\frac{1}{2p}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{2p}$x₂²），
由拋物線C：x²=2py得拋物線C的方程為y=$\frac{1}{2p}$x²，∴y′=$\frac{x}{p}$
∴MA：y-$\frac{1}{2p}$x₁²=$\frac{{x}_{1}}{p}$（x-x₁）①，MB：：y-$\frac{1}{2p}$x₂²=$\frac{{x}_{2}}{p}$（x-x₂）②
聯(lián)立①②可得x₁，x₂是方程t²-2xt+2py=0的兩個根，
∴x₁+x₂=2x，x₁x₂=2py
根據(jù)拋物線的定義，有|AF||BF|=|$\frac{1}{2p}$x₁²+$\frac{p}{2}$||$\frac{1}{2p}$x₂²+$\frac{p}{2}$|=|2x²+（-4-p）x+4+2p+$\frac{{p}^{2}}{4}$|
∴x=$\frac{p+4}{4}$時，|AF|•|BF|的最小值為|$\frac{（p+4）^{2}}{8}$|=8，∴p=4．
故選：D．

點評 本題以拋物線為載體，考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程，考查計算能力，有一定的綜合性．