Question

2．已知函數f（x）=ln（-x）+ax-$\frac{1}{x}$（a為常數），在x=-1時取極值．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）設g（x）=f（-x）+2x，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題定義域為{x|x＜0}，由在x=-1時取極值，可得f′（-1）=0，解得a并驗證即可得出．
（Ⅱ）g（x）=f（-x）+2x=lnx+$\frac{1}{x}$+2x（x＞0），g′（x）=$\frac{（2x-1）（x+1）}{{x}^{2}}$，利用導數研究單調性極值與最值即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由題定義域為{x|x＜0}，
f′（x）=$\frac{1}{x}+a+\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}}$，
∵在x=-1時取極值，∴f′（-1）=$\frac{a}{{x}^{2}}$=0，解得a=0．
經過驗證a=0滿足條件．
（Ⅱ）g（x）=f（-x）+2x=lnx+$\frac{1}{x}$+2x（x＞0），
g′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$+2=$\frac{2{x}^{2}+x-1}{{x}^{2}}$=$\frac{（2x-1）（x+1）}{{x}^{2}}$，
∴g（x）在$（0，\frac{1}{2}]$上單調遞減，在$[\frac{1}{2}，+∞）$上單調遞增．
∴g（x）在x=$\frac{1}{2}$取得最小值$g（\frac{1}{2}）$=3-ln2．

點評 本題考查了利用導數研究單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．