Question

f(x)=ln(1+x)-

kx

k+x

（x＞0），已知k≥0，若f（x）＞0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)求解．先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，后對(duì)k值進(jìn)行討論：①0≤k≤2；②k＞2．對(duì)于第一種情形，由函數(shù)的單調(diào)性知符合題意，對(duì)于第二種情形，由函數(shù)的單調(diào)性知f（x）＞0恒不成立，從而求出k的取值范圍．

解答：解：f'（x）=

1

x+1

-k•

(x+k)-k

(x+k)2

=

x[x-k(k-2)]

(x+1)2

，
0≤k≤2時(shí)，∵x＞0，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0．+∞）上單調(diào)遞增．
∴f（x）＞f（0）=0，符合題意．
k＞2時(shí)，令f'（x）=0，
∵x＞0解得x=k（k-2）∴0＜x＜k（k-2）時(shí)，f'（x）＜0，
f（x）在（0，k（k-2））單調(diào)遞減，
則?x₀∈（0，k（k-2）），f（x₀）＜f（0）=0與已知矛盾
綜上，0≤k≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及分類討論的數(shù)學(xué)思想．