Question

7．已知雙曲線$Γ：{x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（b＞0），直線l：y=kx+m（km≠0），l與Γ交于P、Q兩點，P'為P關于y軸的對稱點，直線P'Q與y軸交于點N（0，n）；
（1）若點（2，0）是Γ的一個焦點，求Γ的漸近線方程；
（2）若b=1，點P的坐標為（-1，0），且$\overrightarrow{NP'}=\frac{3}{2}\overrightarrow{P'Q}$，求k的值；
（3）若m=2，求n關于b的表達式．

Answer 1

分析 （1）由雙曲線$Γ：{x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（b＞0），點（2，0）是Γ的一個焦點，求出c=2，a=1，由此能求出Γ的標準方程，從而能求出Γ的漸近線方程．
（2）雙曲線Γ為：x²-y²=1，由定比分點坐標公式，結合已知條件能求出k的值．
（3）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），k_PQ=k₀，則${P}^{'}（-{{x}_{1}，{y}_{1}），{l}_{PQ}={k}_{0}x+n}^{\;}$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（b²-k²）x²-4kx-4-b²=0，由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{0}x+n}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（$^{2}-{{k}_{0}}^{2}$）x²-2k₀nx-n²-b²=0，由此利用韋達定理，結合已知條件能求出n關于b的表達式．

解答 解：（1）∵雙曲線$Γ：{x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（b＞0），點（2，0）是Γ的一個焦點，
∴c=2，a=1，∴b²=c²-a²=4-1=3，
∴Γ的標準方程為：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
Γ的漸近線方程為$y=±\sqrt{3}x$．
（2）∵b=1，∴雙曲線Γ為：x²-y²=1，P（-1，0），P′（1，0），
∵$\overrightarrow{N{P}^{'}}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{{P}^{'}Q}$，設Q（x₂，y₂），
則有定比分點坐標公式，得：
$\left\{\begin{array}{l}{1=\frac{0+\frac{3}{2}{x}_{2}}{1+\frac{3}{2}}}\\{0=\frac{n+\frac{3}{2}{y}_{2}}{1+\frac{3}{2}}}\end{array}\right.$，解得${x}_{2}=\frac{5}{3}$，∵${{x}_{2}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}=1$，∴${y}_{2}=±\frac{4}{3}$，
∴$k=\frac{{y}_{2}-0}{{x}_{2}+1}$=$±\frac{1}{2}$．
（3）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），k_PQ=k₀，
則${P}^{'}（-{{x}_{1}，{y}_{1}），{l}_{PQ}={k}_{0}x+n}^{\;}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（b²-k²）x²-4kx-4-b²=0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4k}{^{2}-{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-4-^{2}}{^{2}-{k}^{2}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{0}x+n}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（$^{2}-{{k}_{0}}^{2}$）x²-2k₀nx-n²-b²=0，
-x₁+x₂=$\frac{2{k}_{0}n}{^{2}-{{k}_{0}}^{2}}$，-x₁x₂=$\frac{-{n}^{2}-^{2}}{^{2}-{{k}_{0}}^{2}}$，
∴x₁x₂=$\frac{-4-^{2}}{^{2}-{k}^{2}}$=$\frac{{n}^{2}+^{2}}{^{2}-{{k}_{0}}^{2}}$，即$\frac{^{2}-{{k}_{0}}^{2}}{^{2}-{k}^{2}}$，即$\frac{^{2}-{{k}_{0}}^{2}}{^{2}-{k}^{2}}$=$\frac{{n}^{2}+^{2}}{-4-^{2}}$，
$\frac{k}{{k}_{0}}$=$\frac{\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}}{\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{2k}{{k}_{0}n}•\frac{^{2}-{{k}_{0}}^{2}}{^{2}-{k}^{2}}$=$\frac{2k}{{k}_{0}n}•\frac{{n}^{2}+^{2}}{-4-^{2}}$，
化簡，得2n²+n（4+b²）+2b²=0，
∴n=-2或n=$\frac{^{2}}{-2}$，
當n=-2，由$\frac{^{2}-{{k}_{0}}^{2}}{^{2}-{k}^{2}}$=$\frac{{n}^{2}+^{2}}{-4-^{2}}$，得2b²=k²+k₀²，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{0}x-2}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{{k}_{0}-k}}\\{y=\frac{2k+2{k}_{0}}{{k}_{0}-k}}\end{array}\right.$，
即Q（$\frac{4}{{k}_{0}-k}$，$\frac{2k+2{k}_{0}}{{k}_{0}-k}$），代入x²-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，化簡，得：
$^{2}-（4+k{k}_{0}）^{2}+4k{k}_{0}=0$，解得b²=4或b²=kk₀，
當b²=4時，滿足n=$\frac{^{2}}{-2}$，
當b²=kk₀時，由2b²=k²+k₀²，得k=k₀（舍去），
綜上，得n=$\frac{^{2}}{-2}$．

點評 本題考查雙曲線的漸近線的求法，考查直線的斜率的求法，考查n關于b的表達式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意雙曲線、直線、韋達定理的合理運用．