Question

15．已知函數(shù)f（x）=|x²-2x-3|，g（x）=x+a．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的單調遞增區(qū)間；（只需寫出結論即可）
（Ⅱ）設函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），若h（x）在區(qū)間（-1，3）上有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若存在實數(shù)m∈[2，5]，使得對于任意的x₁∈[0，2]，x₂∈[-2，-1]，都有f（x₁）-m≥g（2${\;}^{{x}_{2}}$）-5成立，求實數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)二次函數(shù)的性質求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出h（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)的零點得到關于a的不等式組，解出即可；
（Ⅲ）設函數(shù)F（x）=f（x）-m，G（x）=g（2^x）-5，分別求出F（x）的最小值和G（x）的最大值，求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)y=f（x）的單調遞增區(qū)間為[-1，1]，[3，+∞）；
（不要求寫出具體過程）…（3分）
（Ⅱ）∵-1＜x＜3，∴h（x）=f（x）-g（x）=|x²-2x-3|-x-a=-x²+x+3-a，
由題意知，$\left\{{\begin{array}{l}{△＞0}\\{h（-1）＜0}\\{h（3）＜0}\end{array}}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}a＜\frac{13}{4}\\ a＞1\\ a＞-3\end{array}\right.$得$1＜a＜\frac{13}{4}$；…（7分）
（Ⅲ）設函數(shù)F（x）=f（x）-m，G（x）=g（2^x）-5，
由題意，F(xiàn)（x）在[0，2]上的最小值不小于G（x）在[-2，-1]上的最大值，
F（x）=|x²-2x-3|-m=-x²+2x+3-m=-（x-1）²+4-m（0≤x≤2），
當x=0，或x=2時，F(xiàn)（x）_min=3-m，G（x）=g（2^x）-5=2^x+a-5在區(qū)間[-2，-1]單調遞增，
當x=-1時，$G{（x）_{max}}=G（-1）=a-\frac{9}{2}$，∴存在m∈[2，5]，使得$3-m≥a-\frac{9}{2}$成立，
即$a≤{（\frac{15}{2}-m）_{max}}$，∴$a≤\frac{11}{2}$．∴a的最大值為$\frac{11}{2}$．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及轉化思想，是一道綜合題．