3.已知數(shù)列{an}與{bn}滿足an=$\frac{1}{3}$bn+2(n∈N*),若{bn}的前n項和為Tn=3(2n-1)且λan-bn≥8(n-3)+2λ對一切n∈N*恒成立,則實數(shù)λ的取值范圍是[4,+∞).

分析 由數(shù)列的遞推式:當(dāng)n=1時,b1=T1;當(dāng)n≥2時,bn=Tn-Tn-1,求得bn,an,λan-bn≥8(n-3)+2λ等價于(λ-3)•2n-1≥8(n-3),運用參數(shù)分離和數(shù)列的單調(diào)性,可得最值,解不等式即可得到所求范圍.

解答 解:依題設(shè),當(dāng)n=1時,b1=T1=3;
當(dāng)n≥2時,bn=Tn-Tn-1=3(2n-1)-3(2n-1-1)=3•2n-1,
又∵當(dāng)n=1時,b1=3,上式成立.
∴bn=3•2n-1.∴an=$\frac{1}{3}$bn+2=2n-1+2.
∴λan-bn≥8(n-3)+2λ等價于λ(2n-1+2)-3•2n-1≥8(n-3)+2λ,
即(λ-3)•2n-1≥8(n-3),
∴$\frac{λ-3}{16}$≥$\frac{n-3}{{2}^{n}}$對一切n∈N*恒成立,
令f(n)=$\frac{n-3}{{2}^{n}}$,則f(n+1)-f(n)=$\frac{n-2}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n-3}{{2}^{n}}$=$\frac{4-n}{{2}^{n+1}}$,
∴當(dāng)n≤4時,f(n+1)≥f(n),
當(dāng)n≥5時,f(n+1)<f(n),∴當(dāng)n=4或5時,f(n)取得最大值,
∴f(n)max=f(4)=f(5)=$\frac{1}{16}$,∴$\frac{λ-3}{16}$≥$\frac{1}{16}$,∴λ≥4.
故答案為:[4,+∞).

點評 本題考查數(shù)列通項公式的求法,注意運用數(shù)列遞推式,考查數(shù)列不等式恒成立問題的解法,注意運用參數(shù)分離和數(shù)列的單調(diào)性,考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

19.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1an+Sn=5,則a2=(  )
A.2B.3C.4D.5

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動點,PM垂直AD于M,PM=PB,則點P的軌跡為( 。
A.線段B.橢圓一部分C.拋物線一部分D.雙曲線一部分

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

11.已知平面向量$\overrightarrow a=(-2,1)$,$\overrightarrow b=(1,2)$,則$|{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}|$的值是( 。
A.1B.5C.$\sqrt{3}$D.$\sqrt{5}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.復(fù)數(shù)z滿足zi=3+4i,若復(fù)數(shù)$\overline{z}$對應(yīng)的點為M,則點M到直線3x-y+1=0的距離為( 。
A.$\frac{4\sqrt{10}}{5}$B.$\frac{7\sqrt{10}}{5}$C.$\frac{8\sqrt{10}}{5}$D.$\sqrt{10}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2,g(x)=kx-2lnx+3(k>-$\frac{1}{6}$).
(Ⅰ)若過點P(a,-3)(a>0)恰有兩條直線與曲線y=f(x)相切,求a的值;
(Ⅱ)用min{p,q}表示p,q中的最小值,設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),若h(x)恰有三個零點,求實數(shù)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.已知函數(shù)f(x)=ex+(a+1)x(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))
(1)設(shè)過點(0,0)的直線l與曲線f(x)相切于點(x0,f(x0)),求x0的值;
(2)函數(shù)g(x)=f(x)-(ax2+ex+1)的導(dǎo)函數(shù)為g′(x),若g′(x)在(0,1)上恰有兩個零點,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,點E,F(xiàn)分別為A1B,C1C的中點.
(1)求證:EF∥平面ABCD;
(2)若四棱柱ABCD-A1B1C1D1是長方體,且AB=AD=2AA1,求平面A1BF與平面ABCD所成二面角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

13.已知橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點$P(1,\frac{3}{2})$在橢圓C上,滿足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$\frac{9}{4}$.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)直線l1過點P,且與橢圓只有一個公共點,直線l2與l1的傾斜角互補,且與橢圓交于異于點P的兩點M,N,與直線x=1交于點K(K介于M,N兩點之間).
(。┣笞C:|PM|•|KN|=|PN|•|KM|;
(ⅱ)是否存在直線l2,使得直線l1、l2、PM、PN的斜率按某種排序能構(gòu)成等比數(shù)列?若能,求出l2的方程;若不能,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案