分析 由數(shù)列的遞推式:當(dāng)n=1時,b1=T1;當(dāng)n≥2時,bn=Tn-Tn-1,求得bn,an,λan-bn≥8(n-3)+2λ等價于(λ-3)•2n-1≥8(n-3),運用參數(shù)分離和數(shù)列的單調(diào)性,可得最值,解不等式即可得到所求范圍.
解答 解:依題設(shè),當(dāng)n=1時,b1=T1=3;
當(dāng)n≥2時,bn=Tn-Tn-1=3(2n-1)-3(2n-1-1)=3•2n-1,
又∵當(dāng)n=1時,b1=3,上式成立.
∴bn=3•2n-1.∴an=$\frac{1}{3}$bn+2=2n-1+2.
∴λan-bn≥8(n-3)+2λ等價于λ(2n-1+2)-3•2n-1≥8(n-3)+2λ,
即(λ-3)•2n-1≥8(n-3),
∴$\frac{λ-3}{16}$≥$\frac{n-3}{{2}^{n}}$對一切n∈N*恒成立,
令f(n)=$\frac{n-3}{{2}^{n}}$,則f(n+1)-f(n)=$\frac{n-2}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n-3}{{2}^{n}}$=$\frac{4-n}{{2}^{n+1}}$,
∴當(dāng)n≤4時,f(n+1)≥f(n),
當(dāng)n≥5時,f(n+1)<f(n),∴當(dāng)n=4或5時,f(n)取得最大值,
∴f(n)max=f(4)=f(5)=$\frac{1}{16}$,∴$\frac{λ-3}{16}$≥$\frac{1}{16}$,∴λ≥4.
故答案為:[4,+∞).
點評 本題考查數(shù)列通項公式的求法,注意運用數(shù)列遞推式,考查數(shù)列不等式恒成立問題的解法,注意運用參數(shù)分離和數(shù)列的單調(diào)性,考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 線段 | B. | 橢圓一部分 | C. | 拋物線一部分 | D. | 雙曲線一部分 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | 5 | C. | $\sqrt{3}$ | D. | $\sqrt{5}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{4\sqrt{10}}{5}$ | B. | $\frac{7\sqrt{10}}{5}$ | C. | $\frac{8\sqrt{10}}{5}$ | D. | $\sqrt{10}$ |
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