Question

已知≤a≤1，若f（x）=ax²-2x+1在區(qū)間[1，3]上的最大值M（a），最小值N（a），設(shè)g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的解析式；
（2）判斷g（a）單調(diào)性，求g（a）的最小值．

Answer 1

解：（1）當≤a≤時N（a）=f（），M（a）=f（1），
此時g（a）=f（1）-f（）=a+-2；
當＜a≤1時N（a）=f（），M（a）=f（3），
此時g（a）=f（3）-f（）=9a+-6；
∴g（a）= …（6分）
（2）當≤a≤時，∵g（a）=a+-2，∴g′（a）=1-＜0，
∴g（a）在[，]上單調(diào)遞減．
同理可知g（a）在（，1]上單調(diào)遞增
∴g（a）_min=g（）=．…（12分）
分析：（1）根據(jù)已知條件a＞0，知函數(shù)是二次函數(shù)，其圖象是開口向上的拋物線．因此討論對稱軸：x=與區(qū)間[1，3]的關(guān)系，得到函數(shù)的單調(diào)性后再找出相應(yīng)的最值，即可得g（a）的解析式；
（2）通過求導數(shù)，討論其正負，可得到函數(shù)g（a）在區(qū)間[，]上單調(diào)減，而在（，1]上單調(diào)增，因此不難得出
g（a）的最小值為g（）=．
點評：本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，屬于基礎(chǔ)題．研究二次函數(shù)的最值的關(guān)鍵是用其圖象，或用導數(shù)研究它的單調(diào)性．