Question

17．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a²+c²-b²=ac，b=$\sqrt{3}$，則2a+c的取值范圍是（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{7}$]．

Answer 1

分析 利用a²+c²-b²=ac，代入到余弦定理中求得cosB的值，進(jìn)而求得B，再利用正弦定理求得a、c，利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)2a+c的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的定義域和值域及三角形的性質(zhì)求得2a+c 的范圍．

解答 解：△ABC中，∵a²+c²-b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，A+C=$\frac{2π}{3}$．
∵b=$\sqrt{3}$，
∴由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，
∴2a+c=4sinA+2sinC=4sinA+2sin（$\frac{2π}{3}$-A）=5sinA+$\sqrt{3}$cosA=2$\sqrt{7}$sin（A+φ），其中，tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴2a+c$≤2\sqrt{7}$，
又∵2a+c$＞\sqrt{3}$，
∴2a+c的取值范圍是：（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{7}$]．
故答案為：（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{7}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用．注意余弦定理的變形式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．