Question

（本題滿分16分）
已知．
（1）求函數(shù)的圖像在處的切線方程；
（2）設(shè)實(shí)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值.
（3）證明對一切，都有成立．

Answer 1

（1），即
（2）當(dāng)時，
當(dāng)時，，
（3）見解析

解：
（1）定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823215333920552.png" style="vertical-align:middle;" />      
            又
函數(shù)的在處的切線方程為：
，即       ……  4分
（2）令得
當(dāng)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，，單調(diào)遞增． ……6分
在上的最大值

當(dāng)時，
當(dāng)時，， ……10分
(3)問題等價于證明，  ……12分
由(2)可知的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時取得.
設(shè)，則，易得，
當(dāng)且僅當(dāng)時取到，從而對一切，都有成立． ……16分
思路分析：第一問利用定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823215333920552.png" style="vertical-align:middle;" />       
又   函數(shù)的在處的切線方程為：
，即
第二問中，令得
當(dāng)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，，單調(diào)遞增
第三問中，問題等價于證明，  ……12分
由(2)可知的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時取得.
設(shè)，則，易得