Question

7．奇函數(shù)f（x）定義域是（-1，0）∪（0，1），f（$\frac{1}{3}$）=0，當x＞0時，總有（$\frac{1}{x}$-x）f′（x）ln（1-x²）＞2f（x）成立，則不等式f（x）＞0的解集為（　�。�

• A． $\left\{{x\left|{-1＜x＜-\frac{1}{3}或\frac{1}{3}＜x＜1}\right.}\right\}$
• B． $\{x|-1＜x＜-\frac{1}{3}或0＜x＜\frac{1}{3}\}$
• C． $\left\{{x\left|{-\frac{1}{3}＜x＜0或\frac{1}{3}＜x＜1}\right.}\right\}$
• D． $\left\{{x\left|{-\frac{1}{3}＜x＜0或0＜x＜\frac{1}{3}}\right.}\right\}$

Answer 1

分析 把已知條件（$\frac{1}{x}$-x）f′（x）ln（1-x²）＞2f（x）變形為f′（x）ln（1-x²）-$\frac{2x}{1-{x}^{2}}f（x）$＞0，可想到構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）ln（1-x²）并判斷其單調(diào)性，結(jié)合f（$\frac{1}{3}$）=f（-$\frac{1}{3}$）=0，得g（$\frac{1}{3}$）=g（-$\frac{1}{3}$）=0，由單調(diào)性可得，在（-1，$-\frac{1}{3}$），（0，$\frac{1}{3}$）上，g（x）＜0，而ln（1-x²）＜0，則f（x）＞0成立，答案可求．

解答 解：∵當x＞0時，總有（$\frac{1}{x}$-x）f′（x）ln（1-x²）＞2f（x）成立，即f′（x）ln（1-x²）＞$\frac{2x}{1-{x}^{2}}f（x）$成立，也就是f′（x）ln（1-x²）-$\frac{2x}{1-{x}^{2}}f（x）$＞0成立，
又∵ln（1-x²）=ln（1-x）+ln（1+x），
∴$[ln（1-{x}^{2}）]′=\frac{-1}{1-x}+\frac{1}{1+x}=\frac{-2x}{1-{x}^{2}}$，即[f（x）ln（1-x²）]′＞0恒成立，
可知函數(shù)g（x）=f（x）ln（1-x²）在（0，1）上單調(diào)遞增，
∵f（x）是奇函數(shù)，∴g（x）=f（x）ln（1-x²）是奇函數(shù)，則在（-1，0）上單調(diào)遞增，
又f（$\frac{1}{3}$）=f（-$\frac{1}{3}$）=0，∴g（$\frac{1}{3}$）=f（-$\frac{1}{3}$）=0，
∴g（x）的圖象如下：

在（-1，$-\frac{1}{3}$），（0，$\frac{1}{3}$）上，g（x）＜0，而ln（1-x²）＜0，∴f（x）＞0成立．
∴不等式f（x）＞0的解集為$\{x|-1＜x＜-\frac{1}{3}或0＜x＜\frac{1}{3}\}$．
故選：B．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）ln（1-x²）并判斷其單調(diào)性是解得該題的關鍵，是中檔題．