Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a_n+S_n=n，c_n=a_n-1．?dāng)?shù)列{b_n}中，b₁=a₁，b_n=a_n-a_n-1（n≥2），
（1）求證：數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列；    
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）由a_n+S_n=n，得a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1+S_n+1=n+1，從而得到$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，由此能證明數(shù)列{c_n}是首項為-$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列．
（2先求出c_n=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，從而當(dāng)n≥2時，b_n=a_n-a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n}}$，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項公式．

解答 證明：（1）∵a₁=S₁，a_n+S_n=n，
∴a₁+S₁=2a₁=1，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
又a_n+1+S_n+1=n+1，兩式相減得2（a_n+1-1）=a_n-1，
即$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∵${c}_{1}={a}_{1}-1=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$，
故數(shù)列{c_n}是首項為-$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列．
解：（2）∵數(shù)列{c_n}是首項為-$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴c_n=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，a_n=c_n+1=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，a_n-1=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
∴當(dāng)n≥2時，b_n=a_n-a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$．
又b₁=a₁=$\frac{1}{2}$，即b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*）．
∴數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*）．

點評 本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．