【題目】已知拋物線焦點(diǎn)為，直線過與拋物線交于兩點(diǎn).到準(zhǔn)線的距離之和最小為8.

（1）求拋物線方程；

（2）若拋物線上一點(diǎn)縱坐標(biāo)為，直線分別交準(zhǔn)線于.求證：以為直徑的圓過焦點(diǎn).

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意及拋物線定義，可知，從而可求出拋物線方程；

（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，求出，的坐標(biāo)，進(jìn)而證得以為直徑的圓過焦點(diǎn)；當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)出直線方程，點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，并與拋物線方程聯(lián)立，

借助根與系數(shù)的關(guān)系以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，證得，從而證出以為直徑的圓過焦點(diǎn).

（1）到準(zhǔn)線的距離之和等于到焦點(diǎn)的距離之和，即為，

最小為通徑，所以，解得，

所以拋物線方程為.

（2）拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程：，

由點(diǎn)縱坐標(biāo)為，得，

當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，

直線方程為，此時(shí)，， ，

直線：，直線：，

所以，，，

所以，圓心坐標(biāo)為，半徑，

焦點(diǎn)到圓心的距離，

此時(shí)，以為直徑的圓過焦點(diǎn).

當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，

設(shè)直線，設(shè)，

，得，，，

直線為代入準(zhǔn)線得：

同理可得

，

所以，所以焦點(diǎn)在以為直徑的圓上.

綜上，以為直徑的圓過焦點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某健身館為響應(yīng)十九屆四中全會(huì)提出的“聚焦增強(qiáng)人民體質(zhì)，健全促進(jìn)全民健身制度性舉措”，提高廣大市民對全民健身運(yùn)動(dòng)的參與程度，推出了讓健身館會(huì)員參與的健身促銷活動(dòng)．

（1）為了解會(huì)員對促銷活動(dòng)的興趣程度，現(xiàn)從某周六參加該健身館健身活動(dòng)的會(huì)員中隨機(jī)采訪男性會(huì)員和女性會(huì)員各人，他們對于此次健身館健身促銷活動(dòng)感興趣的程度如下表所示：

感興趣

無所謂

合計(jì)

男性

女性

合計(jì)

根據(jù)以上數(shù)據(jù)能否有的把握認(rèn)為“對健身促銷活動(dòng)感興趣”與“性別”有關(guān)？

（參考公式，其中）

（2）在感興趣的會(huì)員中隨機(jī)抽取人對此次健身促銷活動(dòng)的滿意度進(jìn)行調(diào)查，以莖葉圖記錄了他們對此次健身促銷活動(dòng)滿意度的分?jǐn)?shù)（滿分分），如圖所示，若將此莖葉圖中滿意度分為“很滿意”（分?jǐn)?shù)不低于分）、“滿意”（分?jǐn)?shù)不低于平均分且低于分）、“基本滿意”（分?jǐn)?shù)低于平均分）三個(gè)級別．先從“滿意”和“很滿意”的會(huì)員中隨機(jī)抽取兩人參加回訪饋贈(zèng)活動(dòng)，求這兩人中至少有一人是“很滿意”會(huì)員的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，四邊形，均為正方形，且，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面ABC；

（2）求二面角的正弦值；

（3）設(shè)P是棱上一點(diǎn)，若直線PM與平面所成角的正弦值為，求的值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的最小正周期為，將的圖象向左平移個(gè)單位后，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)的圖象（ ）

A.關(guān)于直線對稱B.關(guān)于直線對稱

C.關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱D.關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某科研單位到某大學(xué)的光電信息科學(xué)工程專業(yè)招聘暑期實(shí)習(xí)生，該專業(yè)一班30名同學(xué)全部報(bào)名，該科研單位對每個(gè)學(xué)生的測試是光電實(shí)驗(yàn)，這30名學(xué)生測試成績的莖葉圖如圖所示.

（1）求男同學(xué)測試成績的平均數(shù)及中位數(shù)；

（2）從80分以上的女同學(xué)中任意選取3人，求恰有2人成績位于的概率；

（3）若80分及其以上定為優(yōu)秀，80分以下定為合格，作出該班男女同學(xué)成績“優(yōu)秀”、“合格”的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為該次測試是否優(yōu)秀與性別有關(guān)？

附：

0.15

0.10

0.05

0.01

2.072

2.706

3.841

6.635

.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿足軸，，.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)的內(nèi)切圓面積最大時(shí)，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《九章算術(shù)》中有一分鹿問題：“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人，共獵得五鹿.欲以爵次分之，問各得幾何.”在這個(gè)問題中，大夫、不更、簪裊、上造、公士是古代五個(gè)不同爵次的官員，現(xiàn)皇帝將大夫、不更、簪梟、上造、公士這5人分成兩組（一組2人，一組3人），派去兩地執(zhí)行公務(wù)，則大夫、不更恰好在同一組的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，，，分別是，,的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，.

(1)求證：平面；

(2)若平面平面，，，求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)為的重心，則的面積為( )

A.B.C.D.

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同步練習(xí)冊答案