Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x+k
（Ⅰ）若方程f（x）=1-x在（-∞，1]上有兩個不等的實根，求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)k，當(dāng)a+b≤2時，使得函數(shù)f（x）=x²-2x+k在定義域[a，b]上的值域恰為[a，b]？若存在，求出k的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）化簡得出x²-x+k=0，令g（x）=x²-x，（-∞，1]，t（x）=1-k，運(yùn)用圖象求解即可．
（Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)k，當(dāng)a+b≤2時，使函數(shù)f（x）在定義域[a，b]上的值域恰為[a，b]，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²-2x+k，f（x）=1-x，
∴x²-2x+k=1-x，
即x²-x+k-1=0，
令g（x）=x²-x，（-∞，1]，t（x）=1-k，

f（

1

2

）=-

1

4

，
根據(jù)圖象可得出；-

1

4

＜1-k≤0時，即1≤k＜

5

4

，
方程f（x）=1-x在（-∞，1]上有兩個不等的實根，
（Ⅱ）①若a＜b≤1，在[a，b]上單調(diào)遞減，
則

b=k-2a+a2，① a=k-2b+b2，②

，①減②得：a+b=1，即b=1-a，
∴

1-a=k-2a+a2，(3) 1-b=k-2b+b2，(4)

，即

k-1-a+a2=0，(5) k-1-b+b2=0，(6)

，
∴方程k-1-x-x²=0在x≤1上有兩個不同的解，此時k∈[1，

5

4

）
②若a≤1≤b且1-a≥b-1，a+b≤2
在[a，b]上不單調(diào)時，
a=f（x）_min=f（1）=k-1，b=k-2a+a²，b≤2-a
b=k-2a+a²≤a+1-2a+a²≤2-a，
∴a∈[-1，0]，
∴k∈[0，1]
綜上得：k∈[0，

5

4

）．

點評：本題考查方程根的存在問題，解題的關(guān)鍵是對于所給的函數(shù)式的分離參數(shù)，寫出要求的參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)，再利用函數(shù)的圖象解決．還考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．