【題目】如圖，在三棱柱中，平面，，，，，，為線段上一點．

（Ⅰ）求的值，使得平面；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求二面角的正切值．

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由面面垂直性質得平面，∴，由相似形可得，得平面；（Ⅱ）以為原點，為軸建立如圖空間直角坐標系，求平面的一個法向量為，可得二面角的平面角為的余弦值，進而求出正切值.

試題解析：（Ⅰ）證明：在三棱柱中，平面，∴平面平面．

∵，∴平面，∴．

∵，，

∴．

在平面內(nèi)，當即可滿足，此時，平面．

∴，∴，∴，平面．

（Ⅱ）方法一：

在（Ⅰ）的條件下，平面，，

設，則即為二面角的平面角．

中，∴，∴．

中，，

，，

二面角的正切值為．

（Ⅱ）方法二：以為原點，為軸建立如圖空間直角坐標系．

．

，．

在（Ⅰ）的條件下，平面，∴平面，．

設平面，，

即，則，

設二面角的平面角為，，

所以二面角的正切值為．

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