14.在平面直角坐標(biāo)中xOy中,曲線C1的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1-2t}\\{y=2t}\end{array}\right.$(t是參數(shù)),曲線C2的普通方程是x2+y2=1,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立直角坐標(biāo)系.
(Ⅰ)寫出C1的普通方程和C2的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)A是C1上的點(diǎn),射線OA與C2相交于點(diǎn)B,點(diǎn)P在射線OA上,|OA|、|OB|、|OP|成等比數(shù)列.求點(diǎn)P軌跡的極坐標(biāo)方程,并將其化成直角坐標(biāo)方程.

分析 (Ⅰ)利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法,寫出C1的普通方程和C2的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)P(ρ,θ),由題意得,$\frac{ρ}{cosθ+sinθ}$=1,∴點(diǎn)P軌跡的極坐標(biāo)方程是ρ=cosθ+sinθ,即可得出結(jié)論.

解答 解:(Ⅰ)∵曲線C1的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1-2t}\\{y=2t}\end{array}\right.$(t是參數(shù)),∴C1的普通方程是x+y=1.
將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入曲線C2的普通方程x2+y2=1,化簡得C2的極坐標(biāo)方程是ρ=1.…(5分)
(Ⅱ)將x=ρcosθ,x=ρsinθ代入C1的普通方程x+y=1,化簡得C1的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{1}{cosθ+sinθ}$.
設(shè)P(ρ,θ),由題意得,$\frac{ρ}{cosθ+sinθ}$=1,∴點(diǎn)P軌跡的極坐標(biāo)方程是ρ=cosθ+sinθ.
方程ρ=cosθ+sinθ可化為ρ2=ρcosθ+ρsinθ(ρ≠0),
將x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2代入并化簡得,(x-$\frac{1}{2}$)2+(y-$\frac{1}{2}$)2=$\frac{1}{2}$(x、y不同時為零).
即點(diǎn)P的軌跡的直角坐標(biāo)方程是(x-$\frac{1}{2}$)2+(y-$\frac{1}{2}$)2=$\frac{1}{2}$(x、y不同時為零).…(10分)

點(diǎn)評 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化,考查極坐標(biāo)方程,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.

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