Question

16．已知函數(shù)f（x）滿足f（1+$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{x^2}$-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=$\frac{{a{x^2}+x}}{f（x）}$在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)換元法求出f（x）的解析式即可；（2）求出g（x）的解析式，得到g（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（1+$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{x^2}$-1，
令1+$\frac{1}{x}$=t，則$\frac{1}{x}$=t-1，
則f（t）=（t-1）²-1=t²-2t（t≠0），
故f（x）=x²-2x，（x≠0）；
（2）g（x）=$\frac{{a{x^2}+x}}{f（x）}$=$\frac{ax+1}{x-2}$，（x＞2），
g′（x）=$\frac{-2a-1}{{（x-2）}^{2}}$，
若g（x）在（2，+∞）遞增，
則$\frac{-2a-1}{{（x-2）}^{2}}$＞0在（2，+∞）恒成立，
故-2a-1＞0，即a＜-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的解析式問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．