Question

1．已知函數(shù)f（x）=4sinxcos（x-$\frac{π}{6}$）+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，利用三角函數(shù)的周期公式求函數(shù)的最小正周期．
（Ⅱ）利用x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：函數(shù)f（x）=4sinxcos（x-$\frac{π}{6}$）+1．
化簡可得：f（x）=4sinxcosxcos$\frac{π}{6}$+4sin²xsin$\frac{π}{6}$+1
=$\sqrt{3}$sin2x+2sin²x+1=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+2=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2
（Ⅰ）函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$
（Ⅱ）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上時(shí)，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為2×（-1）+2=0；
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+2=$\sqrt{3}+2$
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的值域?yàn)閇0，$\sqrt{3}+2$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．