Question

7．已知圓C：x²+y²+Dx+Ey+3=0，圓C關(guān)于直線x+y-1=0對稱，圓心在第二象限，半徑為$\sqrt{2}$．
（1）求圓C的方程；
（2）已知不過原點的直線l與圓C相切，且在x軸、y軸上的截距相等，求直線l的方程；
（3）已知點A（-1，1），若點B在圓C上運動，P是AB的中點，求動點P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得圓心為（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$）在直線x+y-1=0上，且-$\frac{D}{2}$＜0，-$\frac{E}{2}$＞0，再根據(jù)半徑等于$\sqrt{2}$，求得D、E的值，可得圓的方程．
（2）設(shè)直線方程為x+y+c=0，因為直線與圓相切，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，求得c的值，可求得直線方程．
（3）設(shè)P（x，y），由中點公式可得B（2x+1，2y-1），再根據(jù) B在圓C上，建立動點P的軌跡方程．

解答 解：（1）由題知，圓心為（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$）在直線x+y-1=0上，
即-$\frac{D}{2}$-$\frac{E}{2}$-1=0，且-$\frac{D}{2}$＜0，-$\frac{E}{2}$＞0，
半徑r=$\sqrt{{（-\frac{D}{2}）}^{2}{+（-\frac{E}{2}）}^{2}-3}$=$\sqrt{2}$，
解得D=2，E=-4，
所以圓心C為（-1，2），
∴圓C的標準方程為：（x+1）²+（y-2）²=2．
（2）由題，直線在x軸、y軸上的截距相等，
故設(shè)直線方程為x+y+c=0，
因為直線與圓相切，
故有 $\frac{|-1+2+c|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，解得c=1或c=-3，
所以直線方程為 x+y+1=0 或x+y-3=0．
（3）由題意可設(shè)P（x，y），
因為P是AB的中點，
故B（2x+1，2y-1），
∵B在圓C上，
所以 （2x+1+1）²+（2y-1-2）²=4，
所以動點P的軌跡為 （x+1）²+${（y-\frac{3}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查圓的標準方程，直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，用代入法求軌跡方程，屬于中檔題．