Question

定義域為R的偶函數f(x)，當x＞0時f(x)＝lnx－ax(a∈R)，方程f(x)＝0在R上恰有5個不同的實數解．

(Ⅰ)求x＜0時，函數f(x)的解析式；

(Ⅱ)求實數a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設x＜0，則－x＞0 　　∵為偶函數，∴ 　　(2)∵為偶函數，∴＝0的根關于0對稱． 　　由＝0恰有5個不同的實數解，知5個實根中有兩個正根，二個負根，一個零根． 　　且兩個正根和二個負根互為相反數 　　∴原命題圖像與x軸恰有兩個不同的交點 　　下面研究x＞0時的情況 　　∵ 　　即為單調增函數，故不可能有兩實根 　　∴a＞0令 　　當遞減， 　　∴處取到極大值 　　又當 　　要使軸有兩個交點當且僅當＞0 　　解得，故實數a的取值范圍(0，) 　　方法二： 　　(2)∵為偶函數，∴＝0的根關于0對稱． 　　由＝0恰有5個不同的實數解知5個實根中有兩個正根，二個負根，一個零根． 　　且兩個正根和二個負根互為相反數 　　∴原命題圖像與x軸恰有兩個不同的交點 　　下面研究x＞0時的情況 　　與直線交點的個數． 　　∴當時，遞增與直線y＝ax下降或是x國， 　　故交點的個數為1，不合題意　∴a＞0 　　由幾何意義知與直線y＝ax交點的個數為2時，直線y＝ax的變化應是從x軸到與相切之間的情形． 　　設切點 　　∴切線方為 　　由切線與y＝ax重合知 　　故實數a的取值范圍為(0，)