Question

給出下列四個命題：
①命題“?x∈R，都有x²-x+1≥

3

4

”的否定是“?x∈R，都有x²-x+1＜

3

4

”
②一個扇形的弧長與面積的數(shù)值都是5，則這個扇形中心角的弧度數(shù)是5；
③將函數(shù)y=cos2x圖象向右平移

π

4

個單位，得到y(tǒng)=cos（2x-

π

4

）的圖象；
④命題“設向量

a

=（4sinα，3），

b

=（2，cosα），若

a

∥

b

，則α=

π

4

”的逆命題、否命題、逆否命題中真命題的個數(shù)為2．
其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①寫出命題“?x∈R，都有x²-x+1≥

3

4

”的否定，“?x∈R，都有x²-x+1＜

3

4

”，再判斷即可；
②設扇形的半徑為R，弧長為l，面積為S，扇形中心角的弧度數(shù)是θ，則

l=Rθ=5 S= 1 2 lR= 1 2 ×Rθ×R=5

，解之可判斷②的真假；
③將函數(shù)y=cos2x圖象向右平移

π

4

個單位，得到y(tǒng)=cos（2x-

π

2

）的圖象，可判斷③；
④

a

=（4sinα，3），

b

=（2，cosα），若

a

∥

b

⇒α=kπ+

π

4

⇒（k∈Z），從而可判斷原命題的真假，繼而可得其逆否命題的真假；再判斷其逆命題與否命題的真假即可．

解答： 解：①命題“?x∈R，都有x²-x+1≥

3

4

”的否定是“?x∈R，都有x²-x+1＜

3

4

”，故①正確；
②設扇形的半徑為R，弧長為l，面積為S，扇形中心角的弧度數(shù)是θ，則

l=Rθ=5 S= 1 2 lR= 1 2 ×Rθ×R=5

，解得R=2，θ=

5

2

，故②錯誤；
③將函數(shù)y=cos2x圖象向右平移

π

4

個單位，得到y(tǒng)=cos[2（x-

π

4

）]=cos（2x-

π

2

）的圖象，故③錯誤；
④命題“設向量

a

=（4sinα，1），

b

=（2，cosα）”，若

a

∥

b

，則4sinαcosα-1×2=0，解得sin2α=1⇒2α=2kπ+

π

2

⇒α=kπ+

π

4

⇒（k∈Z），
故原命題為假命題，其逆否命題亦為假命題；
其逆命題為：“設向量

a

=（4sinα，1），

b

=（2，cosα），若α=

π

4

，則4sinαcosα-1×2=0，于是得

a

∥

b

，為真命題，
故原命題的否命題亦為真命題；
綜上所述，愿命題、逆命題、否命題、逆否命題中真命題的個數(shù)為2，即④正確．
故答案為：（1）（4）．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查四種命題之間的關系的真假的判斷，考查向量共線的坐標運算及扇形的弧長與面積公式、三角函數(shù)圖象的平移變換，屬于中檔題．