Question

11．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，順次連接橢圓E的四個頂點得到的四邊形的面積為16．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過橢圓E的頂點P（0，b）的直線l交橢圓于另一點M，交x軸于點N，若|PN|、|PM|、|MN|成等比數(shù)列，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓離心率即四邊形的面積公式，求得a和b的值，即可求得橢圓E的方程；
（Ⅱ）直線l的方程為y=kx+2，代入橢圓方程，求得M點坐標，由$\frac{|PM|}{|PN|}=\frac{|MN|}{|PM|}$，即可求得k的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得：2ab=16，①
又由$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，c²=a²-b²，得a=2b，②
解①②的a=4，b=2，所以橢圓E的方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$．
（Ⅱ）由題意|PM|²=|PN|•|MN|，故點N在PM的延長線上，
當直線l的斜率不存在時，|PM|²≠|(zhì)PN|•|MN|，不合題意；
當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，
令y=0，得${x_N}=-\frac{2}{k}$，
將直線l的方程代入橢圓E的方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$，
得（4k²+1）x²+16kx=0，
因為x_p=0，解得${x_M}=-\frac{16k}{{4{k^2}+1}}$，
由$\frac{|PM|}{|PN|}=\frac{|MN|}{|PM|}$，得$\frac{{{x_P}-{x_M}}}{{{x_P}-{x_N}}}=\frac{{{x_M}-{x_N}}}{{{x_P}-{x_M}}}$，即$\frac{{\frac{16k}{{4{k^2}+1}}}}{{\frac{2}{k}}}=\frac{{\frac{2}{k}-\frac{16k}{{4{k^2}+1}}}}{{\frac{16k}{{4{k^2}+1}}}}$，
解得：${k^3}=\frac{1}{80}$，即k=$\frac{1}{4\sqrt{5}}$，
直線l的斜率$\frac{1}{4\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{20}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計算能力，屬于中檔題．