Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD是邊長為a的正方形，對角線AC與BD相交于O，且PD=a，E為棱PC的中點．
（1）求證：PA∥面BED；
（2）求證：AC⊥面PBD；
（3）求直線PA與面PBD所成的角的大�。�

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連OE，由已知條件得OE∥PA，由此能證明PA∥平面BDE．
（2）由已知條件推導出AC⊥BD，PD⊥AC，由此能證明AC⊥面PBD．
（3）連結PO，由已知條件推導出∠PAO為PA與平面PBD所成的角，由此求出PA與平面PBD所成的角為30°．

解答： 解：（1）連OE，∵O，E分別為AC，PC的中點，∴OE∥PA，
又OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE．…（4分）
（2）∵底面ABCD是邊長為a的正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵PD∩BD=D，
∴AC⊥面PBD．
（3）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，
又AC⊥BD，PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，…（8分）
連結PO，∵AO⊥平面PBD，
∴∠PAO為PA與平面PBD所成的角，…（10分）
又∵PD=AD=α，
∴PA=

2

a，AO=

2

2

a，
∴sin∠PAO=

1

2

，∠PAO=30°，
∴PA與平面PBD所成的角為30°．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成的角的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．