Question

15．已知拋物線關(guān)于x軸對稱，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（1，2），A，B均在拋物線上，
（1）求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若線段AB的中點(diǎn)為（1，-1），求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的方程為y²=2px．由點(diǎn)P（1，2）在拋物線上，求出p=2．由此能求出拋物線的方程和準(zhǔn)線方程．
（2）設(shè)AB的方程與拋物線方程聯(lián)立得k²x²+（2kb-4）x+b²=0，由此利用線段AB的中點(diǎn)為（1，-1），求直線AB的方程．

解答 解：（1）由已知條件，
可設(shè)拋物線的方程為y²=2px．
∵點(diǎn)P（1，2）在拋物線上，
∴2²=2p×1，解得p=2．
故所求拋物線的方程是y²=4x；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，則設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立方程組$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$，消去y可得k²x²+（2kb-4）x+b²=0
得${x_1}+{x_2}=\frac{4-2kb}{k^2}$，
又$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=2}\\{k+b=-1}\end{array}}\right.$，故解得k=-2，b=1，
所以直線AB的方程為y=-2x+1．

點(diǎn)評 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯點(diǎn)是知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．