Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直線y=1與橢圓C的兩交點間距離為8．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）如圖，設(shè)R（x₀，y₀）是橢圓C上的一動點，由原點O向圓（x-x₀）²+（y-y₀）²=4引兩條切線，分別交橢圓C于點P，Q，若直線OP，OQ的斜率均存在，并分別記為k₁，k₂，求證：k₁•k₂為定值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試問|OP|²+|OQ|²是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率公式求得a²=4b²，由橢圓過點（4，1），代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）利用點到直線距離公式（x₀²-4）k₁²-2x₀y₀k₁+（y₀²-4）=0，同理求得：（x₀²-4）k₂²-2x₀y₀k₂+（y₀²-4）=0，則k₁，k₂是方程（x₀²-4）k²-2x₀y₀k+（y₀²-4）=0的兩個不相等的實根，根據(jù)韋達(dá)定理即可求得k₁•k₂為定值；
（Ⅲ）將直線OP和OQ的方程，代入橢圓方程，即可求得P和Q點坐標(biāo)，根據(jù)兩點之間的距離公式|OP|²+|OQ|²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²，由k₁•k₂=-$\frac{1}{4}$，即可求得|OP|²+|OQ|²為定值．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則a²=4b²，
由直線過點（4，1），代入$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，解得：b²=5，則a²=20，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（Ⅱ）證明：由直線OP：y=k₁x，直線OQ：y=k₂x，
由直線OP為圓R的切線，
$\frac{丨{k}_{1}{x}_{0}-{y}_{0}丨}{\sqrt{{k}_{1}^{2}+1}}$=2，（x₀²-4）k₁²-2x₀y₀k₁+（y₀²-4）=0，
同理可得：（x₀²-4）k₂²-2x₀y₀k₂+（y₀²-4）=0，
∴k₁，k₂是方程（x₀²-4）k²-2x₀y₀k+（y₀²-4）=0的兩個不相等的實根，
由x₀²-4≠0，△＞0，
則k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}-4}{{x}_{0}^{2}-4}$，
由R（x₀，y₀）在橢圓上，即y₀²=5-$\frac{1}{4}$x₀²，
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}-4}{{x}_{0}^{2}-4}$=$\frac{1-\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$=-$\frac{1}{4}$，
∴k₁•k₂為定值-$\frac{1}{4}$；
（Ⅲ）經(jīng)判斷|OP|²+|OQ|²為定值，
（i）由直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}^{2}=\frac{20}{1+4{k}_{1}^{2}}}\\{{y}_{1}^{2}=\frac{20{k}_{1}^{2}}{1+4{k}_{1}^{2}}}\end{array}\right.$，
∴x₁²+y₁²=$\frac{20（1+{k}_{1}^{2}）}{1+4{k}_{1}^{2}}$，
同理，得x₂²+y₂²=$\frac{20（1+{k}_{2}^{2}）}{1+4{k}_{2}^{2}}$，…13分
由k₁•k₂=-$\frac{1}{4}$，
得|OP|²+|OQ|²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=$\frac{20（1+{k}_{1}^{2}）}{1+4{k}_{1}^{2}}$+$\frac{20（1+{k}_{2}^{2}）}{1+4{k}_{2}^{2}}$，
=$\frac{20（1+{k}_{1}^{2}）}{1+4{k}_{1}^{2}}$+$\frac{20（1+\frac{1}{16{k}_{1}^{2}}）}{1+\frac{1}{4{k}_{1}^{2}}}$，
=$\frac{20（1+{k}_{1}^{2}）}{1+4{k}_{1}^{2}}$+$\frac{20（4{k}_{1}^{2}+\frac{1}{4}）}{4{k}_{1}^{2}+1}$，
=$\frac{25+100{k}_{1}^{2}}{1+4{k}_{1}^{2}}$=25，
∴丨OP丨²+丨OQ丨²為定值，定值為25．

點評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓相切的性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．