Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，橢圓C和拋物線y²=x交于M，N兩點(diǎn)，且直線MN恰好通過橢圓C的右焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）經(jīng)過橢圓C右焦點(diǎn)的直線l和橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且$\overrightarrow{OA}$=$2\overrightarrow{BP}$，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：e=$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$知，即a=$\sqrt{2}$c，由b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=c，設(shè)$a=2λ，c=\sqrt{2}λ，b=\sqrt{2}λ$，其中λ＞0，將$M（c，\sqrt{c}）$代入，即可求得λ的值，求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由題意可知$\overrightarrow{OA}$=$2\overrightarrow{BP}$，即（x₁，y₁）=2（x₀-x₂，y₀-y₂），由于A，B，P均在橢圓x²+2y²=8上，故有：$x_1^2+2y_1^2=8{，_{\;}}x_2^2+2y_2^2=8{，_{\;}}{（\frac{1}{2}{x_1}+{x_2}）^2}+2{（\frac{1}{2}{y_1}+{y_2}）^2}=8$，整理可得：x₁x₂+2y₁y₂=-2，設(shè)直線l方為x=my+2，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理可知代入：$2-\frac{{8{m^2}}}{{{m^2}+2}}=0$，解得${m^2}=\frac{2}{3}$，即可求得故直線l的斜率為$±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

解答 解：（1）由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），焦點(diǎn)在x軸上，
由e=$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$知，即a=$\sqrt{2}$c，由b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=c，
可設(shè)$a=2λ，c=\sqrt{2}λ，b=\sqrt{2}λ$，其中λ＞0
由已知$M（c，\sqrt{c}）$，
代入橢圓中得：$\frac{c^2}{a^2}+\frac{c}{b^2}=1$，即$\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{2}λ}}{{2{λ^2}}}=1$，
解得$λ=\sqrt{2}$，
從而$a=2\sqrt{2}，b=2，c=2$，
故橢圓方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），$\overrightarrow{OA}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{BP}$=（x₀-x₂，y₀-y₂），
由$\overrightarrow{OA}$=$2\overrightarrow{BP}$，
∴（x₁，y₁）=2（x₀-x₂，y₀-y₂）
從而${x_0}=\frac{1}{2}{x_1}+{x_2}{，_{\;}}{y_0}=\frac{1}{2}{y_1}+{y_2}$，
由于A，B，P均在橢圓x²+2y²=8上，故有：$x_1^2+2y_1^2=8{，_{\;}}x_2^2+2y_2^2=8{，_{\;}}{（\frac{1}{2}{x_1}+{x_2}）^2}+2{（\frac{1}{2}{y_1}+{y_2}）^2}=8$
第三個(gè)式子變形為：$\frac{1}{4}（x_1^2+2y_1^2）+（x_2^2+2y_2^2）+（{x_1}{x_2}+2{y_1}{y_2}）=8$，
將第一，二個(gè)式子帶入得：x₁x₂+2y₁y₂=-2（*）
分析知直線l的斜率不為零，故可設(shè)直線l方為x=my+2，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：（m²+2）y²+4my-4=0，
由韋達(dá)定理${y_1}+{y_2}=\frac{-4m}{{{m^2}+2}}，{y_1}{y_2}=\frac{-4}{{{m^2}+2}}$，
將（*）變形為：（my₁+2）（my₂+2）+2y₁y₂=-2，
即（m²+2）y₁y₂+2m（y₁+y₂）+6=0，
將韋達(dá)定理帶入上式得：$2-\frac{{8{m^2}}}{{{m^2}+2}}=0$，解得${m^2}=\frac{2}{3}$，
∵直線的斜率$k=\frac{1}{m}$，
故直線l的斜率為$±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，韋達(dá)定理，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．