【題目】如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四邊形ACFE為矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.
(Ⅰ)求證:BC⊥平面ACFE;
(Ⅱ)點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng),設(shè)平面MAB與平面FCB所成二面角的平面角為θ(θ≤90°),試求cosθ的取值范圍.

【答案】解:(I)證明:在梯形ABCD中,
∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,
∴AB=2
∴AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=3
∴AB2=AC2+BC2
∴BC⊥AC
∵平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC平面ABCD
∴BC⊥平面ACFE
(II)由(I)可建立分別以直線CA,CB,CF為x軸,y軸,z軸的如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
,則 ,B(0,1,0),M(λ,0,1)

設(shè) 為平面MAB的一個(gè)法向量,

取x=1,則
是平面FCB的一個(gè)法向量

∴當(dāng)λ=0時(shí),cosθ有最小值 ,
當(dāng) 時(shí),cosθ有最大值


【解析】(I)證明線面垂直可以利用面面垂直進(jìn)行證明,即若兩個(gè)平面垂直并且其中一個(gè)平面內(nèi)的一條直線a與兩個(gè)平面的交線操作時(shí)則直線a與另一個(gè)平面垂直,即可證明線面垂直.(II)建立空間坐標(biāo)系,根據(jù)坐標(biāo)表示出兩個(gè)平面的法向量,結(jié)合向量的有關(guān)運(yùn)算求出二面角的余弦的表達(dá)式,再利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求出余弦的范圍.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí),掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.月跑步里程逐月增加

B.月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月

C.月跑步里程的中位數(shù)為5月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)

D.1月至5月的月跑步里程相對(duì)于6月至11月波動(dòng)性更小,變化比較平穩(wěn)

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A.有極小值,無(wú)極大值
B.有極大值,無(wú)極小值
C.既有極小值又有極大值
D.既無(wú)極小值又無(wú)極大值

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【題目】如圖,已知是正三角形,EA,CD都垂直于平面ABC,且,,FBE的中點(diǎn),

求證:(1平面ABC

2平面EDB.

3)求幾何體的體積.

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(Ⅰ)若曲線C1關(guān)于曲線C2對(duì)稱,求a的值,并把曲線C1和C2化成直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)求|OA||OC|+|OB||OD|的值.

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(分鐘)

15

20

25

30

頻數(shù)(次)

50

50

60

40

(Ⅰ)求小王上班在路上所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望;

(Ⅱ)若小王一周上班5天,每天的道路擁堵情況彼此獨(dú)立,設(shè)一周內(nèi)上班在路上所用時(shí)間不超過(guò)的天數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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D.

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