Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足$\sum_{i=1}^{n}$（-1）ⁱ⁺¹$\frac{{a}_{i}}{{2}^{i}+1}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，n=1}\\{（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1），n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 n=1時，$\frac{{a}_{1}}{3}$=$\frac{1}{2}$，可得a₁．n≥2時，$\sum_{i=1}^{n}$（-1）ⁱ⁺¹$\frac{{a}_{i}}{{2}^{i}+1}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，$\sum_{i=1}^{n-1}$（-1）ⁱ$•\frac{{a}_{i}}{{2}^{i}+1}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，相減可得：（-1）ⁿ$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}+1}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，可得a_n．

解答 解：n=1時，$\frac{{a}_{1}}{3}$=$\frac{1}{2}$，∴a₁=$\frac{3}{2}$．
n≥2時，$\sum_{i=1}^{n}$（-1）ⁱ⁺¹$\frac{{a}_{i}}{{2}^{i}+1}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，$\sum_{i=1}^{n-1}$（-1）ⁱ$•\frac{{a}_{i}}{{2}^{i}+1}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，相減可得：（-1）ⁿ$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}+1}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，可得a_n=（-1）ⁿ$（1+\frac{1}{{2}^{n}}）$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，n=1}\\{（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1），n≥2}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，n=1}\\{（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1），n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．