Question

已知函數(shù)，其中，
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）討論的單調(diào)性；
（3）若有兩個(gè)極值點(diǎn)和，記過點(diǎn)的直線的斜率為，問是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）不存在，使得.

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，那么曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線的方程為；（2）函數(shù)求導(dǎo)得，
由于函數(shù)的定義域是，因此只需要討論分子在上的正負(fù)問題；（3）假設(shè)存在，使得，那么計(jì)算出，問題歸結(jié)為是否成立，可設(shè)函數(shù)， ，所以在上單調(diào)遞增，因此不存在，使得.
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，所以 
， ，
又因?yàn)榍芯�過，所以切線方程為 
（2）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035432140543.png" style="vertical-align:middle;" />，
令，其判別式     
①當(dāng)，故上單調(diào)遞增
② 當(dāng)，的兩根都小于0，在上，，故上單調(diào)遞增．     
③當(dāng)，設(shè)的兩根為，  
當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，故分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（3）由（2）可知：當(dāng)在上有兩個(gè)極值點(diǎn) 
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240354326081751.png" style="vertical-align:middle;" />
所以   
由（2）可知：，于是，
若存在，使得，則，即，
亦即   
設(shè)函數(shù)，
當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增，
而，所以，
這與式矛盾．故不存在，使得