Question

8．若定義域?yàn)镽的偶函數(shù)y=f（x）滿足f（x+2）=-f（x），且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2-x²，則方程f（x）=sin|x|在[-3π，3π]內(nèi)根的個(gè)數(shù)是10．

Answer 1

分析 求出f（x）的周期，利用周期和對(duì)稱性作出f（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷．

解答 解：∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2），
∴f（x+4）=f（x），即f（x）的周期為4，
作出f（x）和y=sin|x|在（0，10）上的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知兩函數(shù)圖象在（0，3π）上有5個(gè)交點(diǎn)，即5個(gè)零點(diǎn)，
又f（x）與y=sin|x|都是偶函數(shù)，故在（-3π，0）上也有5個(gè)零點(diǎn)，
∴f（x）=sin|x|在（-3π，3π）上有10個(gè)零點(diǎn)．
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性與周期性的應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)與圖象的關(guān)系，屬于中檔題．